pzd100Contatore e distribuzione Gamma

Passiamo ora a considerare il tempo di attesa prima che si verifichino $k$ conteggi. Questo numero aleatorio è descritto da una distribuzione di Erlang, la quale corrisponde ad una distribuzione Gamma per valori interi del parametro $c$. Ricordiamo che

$$f(x\,\vert\, (c,r))=\frac{r^c}{\Gamma(c)}x^{k-1}e^{-r\,x} \hspace{1.0cm}\left\{\begin{array}{l} x\ge 0 \\ r,\, c > 0 \end{array}\right.\,.$$ (7.11)

Per valori interi di $c$ (che indichiamo con $k$) abbiamo quindi, facendo uso della proprietà $\Gamma(k+1)=k!$:

$$f(t\,\vert\, (k, r)) = \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\cdot r^{k}\cdot e^{-r\,t}$$

$$F(t\,\vert\, (k, r)) = \int_0^t\frac{t^{\prime^{k-1}}}{(k-1)!}\cdot r^{k} \cdot e^{-r\,t^\prime} dt^\prime$$

$$= 1 -\sum_{x=0}^{k-1}\frac{e^{-r\,t} \cdot (r\,t)^x}{x!}\,.$$

La funzione cumulativa $F(t)$ fornisce - ricordiamo - $P(T\le t)$. Valore atteso e deviazione standard del tempo di attesa per ottenere $k$ conteggi valgono, quindi:

$$(T) = \frac{k}{r} = k\,\tau$$

$$\sigma(T) = \frac{\sqrt{k}}{r} = \sqrt{k}\, \tau\,.$$

Per $k$ uguale a 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 conteggi abbiamo, rispettivamente:

$$T_{1} = 5.6 \pm 5.6$$

$$T_{2} = 11.2 \pm 7.9$$

$$T_{5} = 28 \pm 13$$

$$T_{10} = 56 \pm 18$$

$$T_{20} = 112 \pm 25$$

$$T_{50} = 281 \pm 40$$

$$T_{100} = 562 \pm 56$$

Si noti come, al fine di aumentare l'intellegibilità, i risultati sono stati arrotondati in modo tale da fornire due sole cifre significative per l'incertezza. Un confronto con la tabella 1.2 permette di verificare come i valori ottenuti sono compatibili con le previsioni, nel senso consueto, ovvero che sarebbe stato alquanto improbabile osservare il contrario.