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pzd100Contatore e distribuzione Gamma

Passiamo ora a considerare il tempo di attesa prima che si verifichino $ k$ conteggi. Questo numero aleatorio è descritto da una distribuzione di Erlang, la quale corrisponde ad una distribuzione Gamma per valori interi del parametro $ c$. Ricordiamo che

$\displaystyle f(x\,\vert\,$Gamma$\displaystyle (c,r))=\frac{r^c}{\Gamma(c)}x^{k-1}e^{-r\,x} \hspace{1.0cm}\left\{\begin{array}{l} x\ge 0 \\  r,\, c > 0 \end{array}\right.\,.$ (7.11)

Per valori interi di $ c$ (che indichiamo con $ k$) abbiamo quindi, facendo uso della proprietà $ \Gamma(k+1)=k!$:
$\displaystyle f(t\,\vert\,$Erlang$\displaystyle (k, r))$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\cdot r^{k}\cdot e^{-r\,t}$  
$\displaystyle F(t\,\vert\,$Erlang$\displaystyle (k, r))$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^t\frac{t^{\prime^{k-1}}}{(k-1)!}\cdot r^{k}
\cdot e^{-r\,t^\prime}
dt^\prime$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -\sum_{x=0}^{k-1}\frac{e^{-r\,t} \cdot (r\,t)^x}{x!}\,.$  

La funzione cumulativa $ F(t)$ fornisce - ricordiamo - $ P(T\le t)$. Valore atteso e deviazione standard del tempo di attesa per ottenere $ k$ conteggi valgono, quindi:
E$\displaystyle (T)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{k}{r} = k\,\tau$  
$\displaystyle \sigma(T)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{k}}{r} = \sqrt{k}\, \tau\,.$  

Per $ k$ uguale a 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 conteggi abbiamo, rispettivamente:
$\displaystyle T_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 5.6 \pm 5.6$  
$\displaystyle T_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 11.2 \pm 7.9$  
$\displaystyle T_{5}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 28 \pm 13$  
$\displaystyle T_{10}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 56 \pm 18$  
$\displaystyle T_{20}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 112 \pm 25$  
$\displaystyle T_{50}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 281 \pm 40$  
$\displaystyle T_{100}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 562 \pm 56$  

Si noti come, al fine di aumentare l'intellegibilità, i risultati sono stati arrotondati in modo tale da fornire due sole cifre significative per l'incertezza. Un confronto con la tabella 1.2 permette di verificare come i valori ottenuti sono compatibili con le previsioni, nel senso consueto, ovvero che sarebbe stato alquanto improbabile osservare il contrario.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02