Distribuzioni statistiche: notazioni

Introduciamo innanzitutto il concetto di distribuzione statistica. Le tabelle 4.1 e 4.2 e le figure 4.1 e 4.2 mostrano come sono distribuiti dei dati sperimentali di interesse, rispettivamente l'età dei cittadini tedeschi e i conteggi registrati in un certo intervallo di tempo. Abbiamo detto prima come le tabelle e gli istogrammi si ottengono dal conteggio delle occorrenze di ciascuna delle classi in cui sono stati raggruppate le informazioni.

Nei due casi illustrati per ogni unità statistica (il singolo cittadino tedesco o la singola misura) si era interessati ad un solo carattere (età e numero di conteggi, rispettivamente). In genere la scelta del carattere a cui ci si interessa può essere arbitraria e dipende dall'applicazione particolare. Ad esempio, trattandosi di studenti universitari si può essere interessati al tipo di maturità conseguita, alla città di provenienza, al sesso o al colore dei capelli. A volte i caratteri possono essere delle informazioni quantitative, come il voto riportato alla maturità, il numero di esami sostenuti, l'altezza o il peso. Questo dato statistico (quantitativo) può essere discreto (come voto ed esami sostenuti) o - almeno in principio - continuo (come altezza e peso). Altra ovvia considerazione è che, per ciascun carattere preso in considerazione, ogni unità statistica (l'individuo o il singolo risultato di una misura) appartenente ad una popolazione (la totalità degli individui o dei dati sperimentali) appartenga ad una ed una sola classe (lo studente non può aver conseguito 42 e 60 alla maturità), mentre non è vero il contrario (molti studenti possono avere avuto lo stesso voto). Non sempre i dati sono relativi all'intera popolazione: a volte si hanno dati relativi soltanto ad un campione della popolazione; altre popolazioni possono essere virtualmente infinite - come quella legata a tutte le misure possibili di una certa grandezza fisica.

Si dice che i dati statistici (quantitativi) costituiscono una distribuzione statistica quando a ciascuno di essi è associato il numero di volte con il quale si è verificato.

Introduciamo dei simboli per operare sulle distribuzioni statistiche.

• $X$ è il nome generico della variabile di interesse associata alle unità statistiche.
• $N$ è il numero totale di dati sperimentali (unità statistiche), ovvero la dimensione, o numerosità del campione o della popolazione.
• $i$ è l'indice del generico dato sperimentale (unità statistica); quindi $i=1, 2, \ldots, N$.
• $N_c$ sta per il numero totale di classi.
• $x_i$ il valore numerico associato all'$i$-ma unità statistica.
• $k$ è l'indice della generica classe; quindi $k = 1, 2, \ldots, N_c\,$.
• $x_k$ è il valore numerico associato alla classe $k$.
• $n_k$ è il numero di occorrenze della classe $k$, ovvero la frequenza con cui si verifica il valore $x_k$; ne segue che

  $$\sum_{k=1}^{N_c} n_k = N\,.$$ (5.1)

  
  

• $f_k$, definito da

  $$f_k = \frac{n_k}{N} = \frac{n_k}{\sum_{k=1}^{N_c}n_k}\,,$$ (5.2)

  
  
  è la frequenza relativa della classe $k$; essa fornisce il peso (relativo) di tale classe rispetto alle altre ed è quindi chiamata anche peso, o peso statistico ed è indicata anche con $w_k$ (come weight); vale ovviamente la condizione

  $$\sum_{k=1}^{N_c} f_k = 1\ \ \ ( \sum_{k=1}^{N_c} w_k = 1)\,.$$ (5.3)

  
  
  Il peso statistico del singolo dato sperimentale vale $w_i=1/N$.

Al fine di alleggerire le formule eviteremo d'ora innanzi di scrivere esplicitamente gli estremi delle sommatorie, a meno che non ci siano ambiguità oppure, saltuariamente, per rinfrescare le convenzioni. Quindi saranno generalmente da intendersi le seguenti abbreviazioni:

$$\sum_{i=1}^N \longrightarrow \sum_i$$ (5.4)

$$\sum_{k=1}^{N_c} \longrightarrow \sum_k\,.$$ (5.5)

Nell'effettuare la classificazione dei dati sperimentali possono capitare due situazioni.

1. I valori numerici ($x_k$) delle classi sono tutti i valori numerici assunti dalle unità statistiche ($x_i$), come ad esempio le classificazioni delle tabelle 4.1 e 4.2.
2. I valori numerici delle classi sono inferiori a quelli delle unità statistiche. Questo succede se il numero di possibili classi è talmente elevato che è preferibile raggruppare più classi elementari^5.2 contigue. Viene così persa l'informazione degli esatti valori $x_i$ acquistati dai dati sperimentali originali e per valore numerico della classe si prende semplicemente il punto medio di ciascuno degli intervalli che definiscono la classe. Si ha sempre questo secondo caso quando i valori numerici delle unità statistiche sono continui.

La seconda situazione avrà delle conseguenze sul valore numerico dei riassunti statistici, i quali differiranno da quelli che si ottengono dai dati non raggruppati. Comunque la differenza è in genere trascurabile, specialmente se si hanno molte classi e la distribuzione dei dati all'interno di esse è abbastanza ``regolare'' (vedi esempio nel paragrafo 5.8).

Come esempio eseguiamo una suddivisione in classi dei tempi di attesa per 1 conteggio (tabella 1.2). La tabella 5.1 mostra due modi per riunire in classi questi dati continui. Nel secondo raggruppamento le classi sono di diversa ampiezza. Sarà interessante vedere le variazioni dei risultati dovuti ai raggruppamenti in classi.

Tabella: Due modi di raggruppamento in classe dei valori dei tempi di attesa per un conteggio (tabella 1.2).

Raggruppamento 1
$k$	estremi	$x_k$	$n_k$	$w_k$
1	$0 \le t < 2$	1	30	0.30
2	$2 \le t < 4$	3	20	0.20
3	$4 \le t < 6$	5	15	0.15
4	$6 \le t < 8$	7	8	0.08
5	$8 \le t < 10$	9	10	0.10
6	$10 \le t < 12$	11	8	0.08
7	$12 \le t < 14$	13	2	0.02
8	$14 \le t < 16$	15	2	0.02
9	$16 \le t < 18$	17	3	0.03
10	$18 \le t < 20$	19	1	0.01
11	$20 \le t < 22$	21	1	0.01
Raggruppamento 2
$k$	estremi	$x_k$	$n_k$	$w_k$
1	$0 \le t < 1$	0.5	19	0.19
2	$1 \le t < 2$	1.5	11	0.11
3	$2 \le t < 3$	2.5	13	0.13
4	$3 \le t < 4$	3.5	7	0.07
5	$4 \le t < 6$	5	15	0.15
6	$6 \le t < 8$	7	8	0.08
7	$8 \le t < 10$	9	10	0.10
8	$10 \le t < 14$	12	10	0.10
9	$14 \le t < 18$	16	5	0.05
10	$18 \le t < 22$	20	2	0.02