Tabelle, istogrammi e diagrammi a barre

Tornando alla nostra misura di radioattività con il contatore a scintillazione, un modo per presentare le informazioni in forma più compatta è quello di raccoglierle in tabelle in cui le classi omogenee sono rappresentate dai conteggi registrati (tabelle 4.1 e 4.2). Il numero di volte in cui si è verificato un certo conteggio è chiamato frequenza. L'informazione persa in questa riduzione dei dati è quella della sequenza temporale con cui si sono verificati i conteggi^4.2. Essa è comunque inessenziale se si presuppone che la radioattività praticamente non cambia nel tempo o, meglio ancora, se è controllato che tale ipotesi è ragionevole.^4.3

Figura: Istogrammi dei risultati dell'esperienza del contatore. Il simbolo ``$\char93$'' sta per ``numero''. Il termine ``evento'' è qui usato - come avviene usualmente - nel senso di ``occorrenza'' o ``numero di volte''.

Il modo più semplice di rappresentare graficamente le frequenze di conteggio consiste nel costruire un istogramma per ogni serie di misure (figura 4.2). L'uso di rappresentazioni grafiche di questo tipo è talmente comune sia nei libri che nei mass media che la loro lettura non necessita di alcuna spiegazione. Qualche parola va invece spesa sul modo di realizzarli. Gli istogrammi mostrati in figura 4.2 sono fra quelli che più frequentemente si incontrano in laboratorio, specialmente per dare un'occhiata veloce ad una manciata di dati e per contare le occorrenze di ciascuna classe^4.4. In genere per operazioni più complesse entrano immediatamente in gioco i calcolatori. Osservando la figura si notano tre tipi di istogrammi.

• In quello relativo alle misure da $100\,$s c'è una crocetta per ogni occorrenza di un certo numero di conteggi (il simbolo ``$\char93$'' sta per ``numero di''). Le occorrenze sono usualmente chiamate anche ``eventi'' dai fisici, anche se vedremo che nello studio della probabilità tale nome verrà utilizzato con altro significato (è opportuno abituarsi subito a qualche inevitabile ambiguità di linguaggio, ricordandosi che, come scrisse Wittgenstein ``un significato di una parola è un suo mode del suo impiego'').
• Nei quattro istogrammi in alto il numero di eventi è talmente elevato che la tecnica precedente non può funzionare. È preferibile allora mettere delle barrettine verticali per ogni evento e raggruppare gli eventi con un tratto obliquo ogni cinque eventi.
• Nelle misure da $300\,$s si ha invece un problema di dispersione di dati sull'asse delle ascisse. Anche se si fossero tracciate delle crocette più piccole, la dispersione sarebbe tale da far perdere la visione d'insieme. Si è allora preferito formare nuove classi raggruppando conteggi contigui. Il numero tracciato sull'asse delle ascisse rappresenta il limite inferiore della classe. Ovvero vengono riportati all'interno di un bin gli eventi per i quali è valida la relazione

  $$\le X < \,.$$ (4.1)

  
  
  L'istogramma indica, ad esempio, che si sono verificati 10 eventi per i quali il numero di conteggi è maggiore o uguale di 60 e minore di 62. A differenza degli altri due tipi di istogrammi, qui si è persa l'informazione della quantità di eventi per numero di conteggi all'interno di ciascuna classe.

  Quest'ultimo tipo di istogramma è quello comunemente utilizzato se un risultato si può presentare in un grande numero di classi. Tale numero può diventare virtualmente infinito per grandezze i cui valori possono assumere valori con continuità - dal punto di vista pratico, non dal punto di vista puramente matematico - in un certo intervallo.

  Un esempio di questa applicazione è mostrato in figura 4.3, dove sono istogrammati i tempi di attesa per ottenere un numero prefissato di conteggi. Per meglio mostrare le distribuzioni dei tempi questi istogrammi sono ottenuti utilizzando 10$^\cdot$000 eventi ottenuti nelle stesse condizioni di quelli della tabella 1.2.

Figura: Istogrammi dei tempi di attesa per 1, 2, 5 e 100 conteggi, basati ciascuno su 10000 eventi simulati (i dati simulati della tabella 1.2 ne rappresentano un piccolo sotto-campione). ``evts'' è un altro modo di scrivere ``numero di eventi''. Un altro modo di rappresentare gli stessi eventi è mostrato in figura 6.7.

È da notare come i quattro istogrammi in alto, della figura 4.2, realizzati con le stesse scale in ascissa e ordinata, si prestino più facilmente a confronti degli altri due. Questo insegna che, quando è possibile, è preferibile procedere in questo modo (ancor meglio se gli istogrammi possono essere disposti in colonna).

A volte nemmeno l'informazione della frequenza di ciascuna classe è importante. Ad esempio, il fatto che per 56 volte si siano verificati zero conteggi nelle misure da 3 secondi dipende dal numero totale di misure effettuate. Se invece di 100 misure ne avessimo eseguite 1000 avremmo ragionevolmente ottenuto un numero di zeri circa 10 volte maggiore. Ben diverso è invece il significato del rapporto fra il numero con cui si verificano zero conteggi e quello con cui se ne verifica uno. Ci attendiamo infatti che tale rapporto resti circa costante all'aumentare del numero di misure. Invece del rapporto fra le frequenze di due classi è preferibile allora calcolare la frequenza relativa, ovvero la frequenza diviso il numero di prove (le misure effettuate, nel nostro caso).

Spesso per comodità si preferisce evitare l'uso persistente di numeri minori di uno e si passa alle frequenze percentuali. Questa operazione è nota a tutti, ma bisogna fare attenzione a scrivere esplicitamente il simbolo $\%$, e a leggere correttamente i valori graficati, per non incorrere nel rischio di sbagliare di un fattore 100. I 6 ``istogrammi'' di figura 4.4 mostrano le frequenze relative dei conteggi espresse in percentuali.

Figura: Dati dell'esperienza del contatore a scintillazione. Diagrammi a barre delle frequenze relative di conteggio.

È da notare come in questo caso non ha senso in genere mettere delle crocette, poiché le frequenze relative sono tipicamente numeri razionali. Per questo motivo questo tipo di rappresentazione grafica è più propriamente chiamata diagramma a barre.