Proprietà delle carte logaritmiche

La figura 6.6 mostra un esempio di carta logaritmica. Possiamo fare delle osservazioni generali che derivano dalle proprietà dei logaritmi:

• la scala delle ordinate si infittisce in prossimità di $10^n$, con $n$ intero e successivamente si dirada. Questo è dovuto al fatto che, passando all'ordine di grandezza successivo, la spaziatura della scala viene eseguita in unità del nuovo ordine di grandezza. Poiché questo brusco cambiamento di spaziatura porrebbe problemi di lettura dei valori, la scala viene successivamente risuddivisa (questa nuova suddivisione, presente nelle carte logaritmiche commerciali, non è riportata in figura 6.6);
• la distanza fra due punti che differiscono di un certo numeri di ordini di grandezza è costante. Questo deriva dalle proprietà dei logaritmi. Infatti, se ad esempio due numeri $y_1$ e $y_2$ differiscono di $n$ ordini di grandezza essi possono essere scritti come $y_2=10 y_1$, da cui segue che

  $$\ln{y_2} - \ln{y_1} = \ln{\frac{y_2}{y_1}}= n\ln{10} \,.$$ (6.20)

  
  
  La distanza misurata in centimetri fra due punti che differiscono di un fattore 10 è pari quindi alla distanza che passa fra 1 e 10, che è pari alla distanza fra 10 e 100 e così via;
• gli intervalli fra potenze di 10 successive si chiamano decadi e, come detto, sono di lunghezza costante su scala logaritmica. La carta del nostro di figura 6.6 ha 3 decadi e mezza;
• il valore 0 non può comparire su una scala logaritmica in quanto $\lim_{x\rightarrow 0} \ln x = -\infty$.;
• due rette che risultano parallele su carta logaritmica differiscono di una costante per quanto riguarda i valori delle ascisse, mentre differiscono per un fattore moltiplicativo per quanto riguarda le ordinate. Infatti se abbiamo una legge del tipo $y=a\, e^{bx}$ ed effettuiamo una traslazione delle ascisse di una costante
  $$x\ \longrightarrow\ \ x^\prime = x + \delta$$
  si ottiene
  

  $$y\ \longrightarrow \ \ y^\prime = a e^{b(x+\delta)} = a e^{b\delta} e^{b x}$$

  $$= e^{b \delta} y$$ (6.21)

  
  

• nell'interpolare ad occhio fra le tacche contigue bisogna prestare attenzione al fatto che la scala non è lineare. È comunque vero che fra due punti molto vicini l'approssimazione lineare è abbastanza buona.

È da notare inoltre che, mentre la carta semilogaritmica è stata introdotta per risolvere problemi legati ad esponenziali (e quindi a logaritmi naturali), per quanto riguarda l'uso di carta logaritmica si è parlato poi di potenze di 10. Questo è dovuto a due ragioni:

• innanzitutto, da un punto di vista grafico, ciò che è lineare nel logaritmo naturale è anche lineare nel logaritmo decimale (si ricordi infatti che $\ln{x}=\ln{10}\log{x})$;
• in secondo luogo bisogna notare che l'affermazione fatta precedentemente secondo cui ``l'ordinata è proporzionale al logaritmo del valore'' non è perfettamente corretta e lascerebbe presupporre un assortimento infinito di carte millimetrate a seconda degli ordini di grandezza di interesse. Ma poiché su scala logaritmica passare da un ordine di grandezza all'altro corrisponde ad una traslazione, è preferibile disegnare le decadi, lasciando all'utilizzatore il compito di segnare la potenza di 10 di interesse.

Le carte logaritmiche commerciali offrono un certo numero di decadi (tipicamente da 2 a 4) e agli estremi di ogni decade è indicato sempre ``10''. È lo sperimentatore a scrivere la successione di potenze adatta a riportare le misure. Per esempio, nel caso della figura 6.6, se la tensione fosse stata misurata in Volt si sarebbe riportato sulla scale, da basso verso l'alto, $10^{-3}$, $10^{-2}$, $10^{-1}$ e $10^{0}$.

Un'altra applicazione della carta semilog, oltre a quello di evidenziare andamenti esponenziali e di valutarne i parametri, è quello di presentare dati che variano di molti ordini di grandezza. Questo può essere mostrato dal confronto del grafico di figura 6.5 con quello di figura 6.6. Mentre su carta lineare i valori di tensione corrispondenti a tempi superiori a 14 ms si confondono con lo zero, su carta semilog tutti i valori hanno lo stesso grado di leggibilità, nel senso che l'incertezza di lettura dei valori è in percentuale circa costante in tutto l'intervallo.

Figura: Istogrammi dei tempi di attesa per 1, 2, 5 e 100 conteggi in scala semilog. Si confronti con gli stessi istogrammi in scala lineare di figura 4.3.

Questa caratteristica della scala è utile non soltanto per grafici di una grandezza in funzione di un'altra, ma anche per rappresentare gli istogrammi. In questo caso vengono evidenziati piccoli effetti sulle code delle distribuzioni che è impossibile apprezzare su scala lineare. Si confrontino per esempio le figure 4.3 e 6.7 dei tempi di attesa per ottenere un certo numero di conteggi con un contatore a scintillazione. Si notino in particolare le piccole asimmetrie delle code ancora presenti per 100 conteggi.