Stima dei parametri

Se i punti hanno un andamento lineare su carta semilog si può tracciare la retta che meglio si adatta ad essi e quindi stimare i parametri dell'andamento esponenziale. Con la notazione di formula 6.15, si può verificare quanto segue.

• Il parametro $a$ è dato semplicemente dal valore della $Y$ che corrisponde all'intersezione della retta con l'asse delle ordinate

  $$a = y(x=0)\,.$$ (6.22)

  
  

• Il parametro $b$ è dato dal coefficiente angolare della retta. Scegliendo due punti - si ricordi: lontani e ben leggibili - e utilizando la 6.18 si ottiene, mediante l'equazione parametrica della retta

  $$\frac{\ln{y}-\ln{y_1}}{\ln{y_2} - \ln{y_1}} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\,,$$ (6.23)

  
  
  
  

  $$b = \frac{\ln{y_2} - \ln{y_1}}{x_2-x_1} = \frac{\ln{y_2/y_1}}{x_2-x_1}\,.$$ (6.24)

  
  

• Nel caso che l'asse delle ordinate ($x=0$) per motivi di convenienza non sia riportato nel grafico può essere più comodo ricavarsi il parametro $a$ dai due punti della retta:
  

  $$\ln{a} = \ln{y_1} - \frac{\ln{y_2} - \ln{y_1}}{x_2-x_1}x_1 = \ln{y_1} - bx_1$$ (6.25)

  $$a = y_1e^{-bx_1}\,.$$ (6.26)

  
  
  (L'alternativa sarebbe di continuare la retta su altri fogli di carta millimetrata.)

Come esempio numerico stimiamo i parametri dell'andamento dei dati della tabella 6.2 e delle figure 6.6 e 6.5:

• dal valore della retta per $t=0$ si trova $a\approx 800$ mV. L'incertezza della lettura della scala è dell'ordine di 10 mV. Per evitare che, scrivendo 800 mV, si possa pensare di aver apprezzato anche il secondo zero si può riportare il risultato come $a\approx 8.0 \cdot 10^{2}\,$mV, ovvero
  $$a\approx 0.80\,\,$$V$$\,.$$

• Scegliendo come punti della retta $P_1=(2.0,\, 4.1\cdot 10^2)$ e $P_2=(20.0,\, 1.0)$:
  $$b\approx \frac{\ln{1.0}-\ln{410}}{(20.0-2.0)\, \mbox{ms}} = -0.33\, \mbox{ms}^{-1}\,.$$
  A volte questo tipo di esponenziali negativi in funzione del tempo vengono descritti mettendo all'esponente un parametro definito positivo che abbia le stesse dimensioni del tempo e indicato usualmente $\tau$:
  $$V=V_\circ e^{-t/\tau}\,.$$
  Nel nostro caso abbiamo $\tau\approx 3.0\,$ ms.
• Utilizziamo anche il secondo modo di ricavarci $a$:
  $$a = 0.41e^{2\times 0.33} = 0.79\,$$V$$\,,$$
  in buon accordo con il valore di 0.80 V ottenuto con il metodo precedente.