Incertezza su un fattore di influenza

Affrontiamo questo argomento con un caso specifico. Supponiamo di dover determinare la lunghezza di una barretta di materiale avente un alto coefficiente di dilatazione termica. Affinché la misura abbia senso, occorre specificare nella definizione del misurando anche il valore della temperatura di riferimento. In genere si utilizza come riferimento $T_\circ=20^\circ$C. Questo non implica che bisogna lavorare esattamente a questa temperatura, essendo ciò impossibile in linea di principio. Il valore di temperatura può essere, al più, nominalmente $20^\circ$C, con una incertezza di $\sigma_T$; oppure la misura viene eseguita ad una temperatura $T\pm\sigma_T$ diversa da $T_\circ$ (ad esempio se non è possibile trasportare il misurando in un piccolo ambiente termostatato).

In questi casi è possibile sia

• correggere il valore misurato per effetto della differenza di temperatura;
• associare al risultato un nuovo contributo all'incertezza globale, dovuto all'eventuale incertezza sulla temperatura;

a condizione che sia noto il coefficiente di dilatazione termica

$$\alpha \pm \sigma_\alpha$$

(noto anch'esso con una eventuale incertezza...).

Indicando con $l$ la lunghezza e $\Delta T = T-T_\circ$, considerando $\alpha \ll 1$ e assumendo (per semplicità) che lo strumento di misura non subisca la dilatazione termica, si ha (vedi anche figura 8.3):

$$l_T = l_{T_\circ}(1+\alpha\,\Delta T)$$

$$l_{T_\circ} = \frac{l_T}{(1+\alpha\,\Delta T)} \approx l_T(1-\alpha\,\Delta T) = \beta\, l_T$$ (11.21)

$$\sigma^2(l_{T_\circ}) = \beta^2\sigma^2(l_{T}) + l_{T}^2\,\sigma^2(\beta)$$

$$= (1-\alpha\,\Delta T)^2\sigma^2(l_{T}) + l_{T}^2\left(\Delta T^2\sigma^2_\alpha + \alpha^2\sigma^2_{\Delta T}\right)\,.$$ (11.22)

Si noti che:

• anche se $\Delta T =0$ ($T=T_\circ$) resta sempre una incertezza dovuta alla non perfetta conoscenza della temperatura;
• se il coefficiente di dilatazione non è ben noto ( $\sigma(\alpha)$ ``grande'') è raccomandabile cercare di effettuare la misura ad una temperatura molto prossima a quella di riferimento;
• se invece $\alpha$ è ``perfettamente noto'' il risultato non dipende dalla temperatura alla quale si effettuano le misure.
• se si eseguono più misure a temperature diverse da $T_\circ$ (anche diverse fra loro), le loro incertezze saranno correlate a causa del comune coefficiente di dilatazione usato per correggere i risultati; nel caso di analisi successive se ne può tenere conto come visto per costanti di calibrazione.

L'esempio mostrato si estende in modo immediato ad altri fattori di influenza, eventualmente anche concomitanti.