Problemi

1. La relazione che lega la variabile $Y$ alla variabile $X$ è $Y=X^3$. La variabile $X$ è distribuita uniformemente fra 1 e 3. Trovare il valore massimo e quello minimo che può assumere $Y$. Quanto vale la probabilità che $Y$ assuma un valore minore di 8? Quanto vale la probabilità che $Y$ assuma una valore maggiore di $(y_{max}+y_{min})/2$
2. Sono stati misurati i lati di un cubo, trovando valori compatibili fra di loro. Il valore vero del lato è compreso al $95\,\%$ nell'intervallo $3.27\pm 0.08\, cm$.
   a) Trovare l'intervallo di fiducia del volume del cubo, valutando il valore del volume che corrisponde agli estremi dell'intervallo di fiducia del lato.
   b) Cosa si ottiene applicando la propagazione degli errori?
3. Vengono effettuate le misure dei due lati di un rettandolo, ottenendo i risultati $l_1= (5.253\pm 0.015) \, cm$ e $l_2 = (12.322\pm 0.013) \, cm$.
   a) calcolare : la differenza fra i due lati, il perimetro, la diagonale e l'area del rettangolo;
   b) riferendosi al triangolo rettangolo formato dai due lati e dalla diagonale: calcolare la tangente dell'angolo opposto al lato minore;
   c) confrontare le precisioni con le quali erano stati misurati $l_1$ e $l_2$ con quelle ottenute sulle grandezza fisiche calcolate da essi.
4. Sui dati dell'esercizio precedente: supponiamo di sapere che l'incertezza sulla calibrazione dello strumento con cui sono state effettuate le misure introduce una correlazione positiva del $65\,\%$ fra le misure dei due lati. Come cambiano i risultati sulle misure derivate?
5. Rispondere all'ultima domanda dell'esercizio 14 del capitolo precedente utilizzando la propagazione degli errori.
6. Si vuole misurare l'accelerazione di gravità con un pendolo semplice. Sapendo che il periodo può essere misurato con una precisione dello $0.3\,\%$ e che si è interessati a conoscere $g$ con una precisione dell'$1\,\%$ , con quale precisione bisogna misurare la lunghezza? ( Si ricorda che $T=2\pi\sqrt{l/g}$.)
7. Sia $Y=(a-b)/(a+b)$, dove $a=45.23\pm 0.37$ e $b=21.55\pm 0.09$. Per calcolare l'incertezza su $Y$ uno studente effettua i seguenti passaggi: $Y=d/s$, con $d=a-b \pm \sqrt{\sigma_a^2+\sigma_b^2}$ e $s=a+b\pm \sqrt{\sigma_a^2+\sigma_b^2}$; $r_Y=\sqrt{r_d^2+r_s^2}$; $\sigma_Y=Y\cdot r_y$.
   Perché tale procedimento è sbagliato?
   Quali sono i due modi corretti per calcolare $\sigma_Y$?
8. L'ufficiale di una nave ``esegue il punto'', ossia misura la latitudine e la longitudine dove si trova la nave, utilizzando le informazioni di appositi satelliti, ricevute ed elaborate da uno strumento elettronico. Si ottengono i valori di $42^\circ \ldots N$ $12^\circ \ldots\ E$. Sapendo che lo strumento fornisce i valori con un incertezza standard di $0.5^''$, trovare le incertezze sulla posizione lungo le lineee Nord-Sud e Ovest-Est. Quanto vale la distanza della nave (o più esattamente dalla posizione dove si trova lo strumento, assumendo che non abbia antenne esterne) e una boa che si trova nella posizione .... (Si ricorda che il raggio della terra vale $3600\, Km$ ( incertezza !! ) e si raccomanda di considerare piana la superficie della terra nell'intorno della nave )
9. $(\,\diamondsuit\,)$ Vengono effettuate due misure di radioattività con un contatore in due posti diversi della stessa stanza. Si ottengono rispettivamente 1200 e 1050 conteggi al minuto. Al livello di confidenza del $95\,\%$ i due risultati sono da ritenersi uguali o diversi? Assumendo che il valore di radioattività sia lo stesso nei due punti, quanto vale la probabilità che la differenza dei risultati sia da imputare ad una fluttuazione statistica?
10. $(\,\diamondsuit\,)$ Sono stati misurati i due lati di un rettangolo, ottenendo, $a=20.1\pm 0.5\, mm$ e $b=45.8\pm 0.5\, mm$. Poiché le misure sono state effettuate con lo stesso strumento, le loro incertezze sono correlate positivamente al $60\,\%$.
    
    1. determinare il perimetro, la differenza fra i due lati e l'area del rettangolo;
    2. determinare il coefficiente di correlazione fra la misura del perimetro e quella dell'area;
    3. determinare il rapporto fra l'area e il perimetro;
    4. confrontare il risultato ottenuto al punto precedente con quello che si otterebbe a partire dalle misure dei lati.
    Nei vari passaggi, confrontare il risultato con quanto si otterebbe trascurando i termini di correlazione.
11. $(\,\diamondsuit\,)$ Sia $Y=(a-b)/(a+b)$, dove $a=(45.23\pm 0.37)\ cm$ e $(b=21.55\pm 0.37)\, cm$. Per calcolare l'incertezza su $Y$ uno studente effettua i seguenti passaggi: $Y=d/s$, con $d=a-b \pm \sqrt{\sigma_a^2+\sigma_b^2}$ e $s=a+b\pm \sqrt{\sigma_a^2+\sigma_b^2}$; $r_Y=\sqrt{r_d^2+r_s^2}$; $\sigma_Y=Y\cdot r_y$.
    Otterrà il risultato corretto?
12. $(\,\diamondsuit\,)$ Un contatore di radioattività misura in un certo intervallo di tempo 2356 conteggi. Il giorno dopo lo stesso contatore, posto nello stesso luogo e fatto funzionare per lo stesso tempo registra 2012 conteggi. Quanto vale il rapporto fra la seconda e la prima misura?
13. $(\,\diamondsuit\diamondsuit\,)$ Un rivelatore, di forma rettangolare di lati $a=(1.50\pm 0.01)\, cm$ e $b=(10.00\pm 0.01)\, cm$, viene posto ortogonalmente alla direzione di provenienza di un debolissimo fascio di neutroni. Viene attivato per $(100\pm 1)\, s$ e registra 1152 conteggi.
    L'efficienza del rivelatore (indicata con il simbolo $\epsilon$ ed intesa come la probabilità che esso arresti un neutrone e di consequenza produca un conteggio) è stata precedentemente misurata in laboratorio inviando sul rivelatore 1000 neutroni e registrando 950 conteggi.
    Quanto vale il flusso di neutroni per $cm^2$ al secondo?
    Una seconda misura effettuata contemporaneamente con un altro strumento nello stesso posto fornisce $\phi_2 = (0.840\pm 0.017)\, neutroni/(cm^2\cdot s)$. Combinando i due risultati, quanto vale l'intervallo di fiducia al $95\,\%$ di confidenza del flusso di neutroni?
14. $(\,\diamondsuit\,)$ Sui dati del problema precedente: assumendo che l'incertezza assoluta sulla misura del tempo rimanga costante, stimare quanto vale l'incertezza che ci si aspetta su $\phi_1$ se la misura viene effettuata in intervalli di tempo rispettivamente 2, 10 e 100 volte maggiori?
    Assumendo di poter misurare $a$ con la stessa precisione di $b$ e di poter effettuare la misura per un intervallo di tempo sufficientemente lungo, quale è il numero minimo di neutroni con cui effettuare una nuova misura di efficienza se si vuole avere una incertezza sulla misura del flusso inferiore allo $0.2\,\%$ ?
15. Un rivelatore risponde al passaggio di una particella emettendo una debolissima luminescenza. Una piccola frazione dei fotoni emessi fotoni è raccolta da una guida di luce a fibre ottiche ed è inviata su un ``fotocatodo'', dal quale per effetto fotoelettrico sono estratti degli elettroni (chiamati in gergo ``fotoelettroni'') i quali danno poi origine ad un segnale elettrico. Sotto queste condizioni la statistica dei foroelettroni è poissoniana. Supponiamo di avere un apparecchio elettronico in grado di dare un certo segnale se è prodotto almeno un fotoelettrone.
    L'efficienza del rivelatore viene studiata inviando sul rivelatore 10000 particelle ben separate in tempo e registrando 9912 segnali in coincidenza. Quanto vale il numero medio di fotoelettroni prodotti dal passaggio di quel tipo di particelle?
16. In un esperimento di diffusione di particelle su un certo bersaglio si conta il numero di particelle rivelate al di sopra del piano orizzontale passante per il centro del bersaglio e il numero di quelle che vanno dall'altra parte. Su 788 particelle inviate contro il bersaglio si ottengono $n_1 = 372$ conteggi sopra e $n_2 = 416$ sotto. Il processo di diffusione che si sta studiando è simmetrico o asimmetrico? ( Si faccia uso della variabile ''asimetria'' definita come $A = (n1-n2)/(n1+n2)$ ).
17. Risolvere lo stesso problema pensando di avere due rivelatori molto piccoli tali da avere ripettivamente $n_1 = 372$ e $n_2 = 416$ conteggi, ma con 100000 particelle inviate contro il bersaglio. Inoltre, quanto vale il rapporto fra $n_1$ e il numero totale di conteggi? Confrontare i risultati con quelli del problema nr. 35.
18. Nel fit delle costanti fondamentali del 1986 si ottengono^11.9 per carica elettrica elementare e la costante di Plank i seguenti valori: $e = 1.60217733\cdot 10^{-19}\,C$; $h=6.6260755\cdot 10^{-34}\,J\cdot s$. Le deviazioni standard e la covarianza sono rispettivamente $\sigma(e) = 4.863\cdot 10^{-26}\,C$, $\sigma(h)=3.966\cdot 10^{-40}\,J\cdot s$ e $Cov(e,h) = 1.9232\cdot 10^{-65}\,C\cdot J\cdot s$. Ricavare il valore della costante di struttura fine $\alpha$ dalla relazione $\alpha=\frac{\mu_\circ c e^2}{2h}$, sapendo che la permeabilità magnetica del vuoto e la velocità della luce nel vuoto valgono rispettivamente $4\pi\cdot 10^{-7}\,N\cdot A$ e $299792458\,m\cdot s^{-1}$ e che esse sono prive di incertezza. Come verranno presentati i valori di $e$, $h$ e $\alpha$?

19. Siamo interessati alla misura delle coordinate di punti che giacciono su uno stesso piano. Supponiamo di disporre di uno strumento che sia in grado di misurare con una incertezza dello $0.1\,\%$ la distanza fra ciascuno dei punti e l'origine delle coordinate e di un altro che misuri l'angolo che essi formano rispetto all'asse $x$ con una incertezza di $10^\prime$ di arco. Calcolare i valori delle coordinate $x$ e $y$ con le loro incertezze e la correlazione fra di essi nei seguenti casi: $P_1$: $r=2\,m$, $\theta=0^\circ$; $P_2$: $r=2\,m$, $\theta=90^\circ$; $P_3$: $r=2\,m$, $\theta=45^\circ$.
20. $(\,\diamondsuit\,)$ La relazione fra velocità ed energia totale di una particella è:
    $$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\, ,$$
    dove $\beta$ è pari al rapporto fra la velocità della particella e la velocità della luce.

    Supponiamo di avere una particella per la quale $mc^2$ vale $938\cdot 10^6\,eV$ ( un protone ) e di misurarne la velocità mediante il tempo che essa impiega a percorrere una certa distanza. Supponendo inoltre che distanza e tempo vengano misurati con una precisione dello $0.1\,\%$, e che $\beta$ risulti pari a 0.9971, trovare l'intervallo di fiducia dell'energia della particella al 68.3, al 95 e al 99 %.

21. Un ragazzo fa jogging in un parco su un percorso di 5 Km esatti che torna al punto di partenza. Avendo dimenticato l'orologio, usa l'indicazione di un grande orologio digitale posto sopra un cartello pubblicitario e visibile soltanto dal punto di partenza/arrivo. Le indicazioni del display sono rispettivamente 10:52 e 11:17.
    A quale velocità media è stato effettuato il persorso? Dare l'incertezza del risultato sia ad una deviazione standard, sia al $68.3\,\%$ utilizzando la distribuzione di probabilità del valore vero del tempo di percorrenza che si ritiene la più corretta.

22. Due rivelatori, distanti $30.000\pm 0.005$ m, registrano il passaggio di una particella carica agli istanti $t_1=53.07\, ns$ e $t_2=152.61 \, ns$ rispetto ad un certo istante di riferimento ( $1\, ns = 10^{-9} \, s$ ). Sapendo che ciascuno dei rivelatori misura il tempo con un'incertezza di $0.20\, ns$, determinare il rapporto $\beta$ fra la velocità della particella e la velocità della luce ( $c=299792458\,m/s$ ). Assumendo valida l'ipotesi che la velocità della luce sia la massima raggiungibile, fornire il limite inferiore al $95\,\%$ C.L. e confrontarlo con quello che si otterrebbe senze imporre tale ipotesi.

23. $(\,\diamondsuit\,)$ Si misurano^11.10con un multimetro elettronico i valori di resistenza di un campione di 68 resistori da $100\,\Omega$ nominali e di tolleranza dell'$1\,\%$ provenienti da una stessa ''striscia'' ( e quindi prodotti in condizioni molto simili ). I risultati sono i seguenti: $\overline{R} = 99.955\, \Omega$, $s = 0.16 \,\Omega$, $R_{min} = 99.62\,\Omega$, $R_{max} = 100.31\,\Omega$.
    1. Come è possibile che la deviazione standard sia molto più piccola della tolleranza? Quale valore si sarebbe ottenuto per una distribuzione di valori uniforme fra i due limiti di incertezza?
    2. Venti resistenze estratte dal campione vengono connesse in serie ed utilizzate per costruire un partitore di tensione tale da fornire la metà della tensione di una pila campione. Supponendo che il valore di tensione della pila campione sia noto con una precisione dello $0.1\,\%$, quanto vale l'incertezza relativa sulla tensione prelevata dal partitore?

24. $(\,\diamondsuit\,)$ La relazione che lega la concentrazione della soluzione da preparare, $C_{new}$, con la concentrazione della soluzione a disposizione, $C_{old}$, e i volumi di pipette ($P_i$) e di palloni tarati ($F_i$, dall'inglese flask ) utilizzati in una diluizione a $n$ passi è:
    $$C_{new} = C_{old}\cdot \Pi_{i=1}^n P_i/F_i.$$
    Definiamo il rapporto di concentrazione $C=C_{new}/C_{old}$. Sul mercato si trovano le pipette con i seguenti volumi^11.11 espressi in $mL$ (fra parentesi le incertezze standard): 1 (0.007), 10 (0.02), 20 (0.03), 25 (0.03); e i palloni con i seguenti volumi: 10 (0.02), 50 (0.05), 100 (0.08), 250 (0.12), 500 (0.20), 1000 (0.30).
    1. Per ottenere un rapporto di concentrazione di 0.001 è preferibile ( nel senso di minimizzare l'incertezza sulla soluzione ) effettuare:
       • una diluizione ad un passo con una pipetta da $1\,mL$ e un pallone da $1000\,mL$?
       • una diluizione a due passi utilizzando le pipette da 20 e da 25 $mL$ e i palloni da 1000 e da 500 $mL$?
    2. Per ottenere un rapporto di concentrazione di 0.1 come è preferibile operare?
       • ad un passo con una pipetta da $25\,mL$ e un pallone da $250\,mL$?
       • ad passo con una pipetta da $10\,mL$ e un pallone da $100\,mL$?
       • ad passo con una pipetta da $1\,mL$ e un pallone da $10\,mL$?
       • a due passi utilizzando le pipette da 20 e da 25 $mL$ e i palloni da 100 e da 50 $mL$?

25. $(\,\diamondsuit\,)$ Si vuole determinare l'attività specifica di una certa sostanza. Un campione di $(22.0\pm0.8)\,g$ viene posto all'interno di un contatore di radioattività. Vengono misurati in 1 minuto 1234 conteggi. In assenza del campione il contatore registra 347 conteggi nello stesso intervallo di tempo ( supporre che l'incertezza sul tempo sia trascurabile ). Calcolare l'attività specifica espressa in conteggi per chilogrammo per secondo.

26. Si vuole determinare la risoluzione temporale di tre contatori a scintillazione $A$, $B$ e $C$. Vengono usati a coppie, in cui un contatore funge da START e l'altro da STOP della misura del tempo. Per ogni configurazione, vengono fatti attraversare da 2000 particelle cariche. La distribuzione dei tempi misurati è pressoché normale e le deviazioni standard ottenute sono le seguenti: con $A$ e $B$, $s = 250 \, ps$; con $A$ e $C$, $s = 293\, ps$; con $B$ e $C$, $s=323\, ps$ ($1 ps$ - leggi ``picosecondo''- è pari a $10^{-12}\,s$ ).
    Quanto valgono deviazioni standard della risposta temporale di ciascuno dei contatori?