Esempi numerici

Facciamo ora degli esercizi numerici su alcuni dei concetti più critici.

1. Consideriamo un termometro a mercurio, avente divisioni di 0.1$^\circ$C e di cui sappiamo che l'incertezza di calibrazione è pari a 0.6$^\circ$C. Consideriamo le seguenti letture: $T_1 = 22.00\,^\circ$C e $T_2 = 23.00\,^\circ$C. Quanto vale la diferenza fra le temperature?

   Per dare il risultato occorre valutare la deviazione standard di ripetibilità, che tiene conto anche dell'errore di lettura. Effettivamente bisognerebbe sapere qualcosa di più sulla misura. Come mero esercizio accademico, assumiamo che la misura sia disagevole, addirittura tale che ci sentiamo ``tranquilli'' entro una divisione. Ne segue $\sigma_r=0.03^\circ$C (punto 5 del paragrafo precedente) e quindi:
   

   $$\sigma(T_1) = \sigma(T_2) = 0.03\oplus 0.6 = \sqrt{0.03^2+0.6^2} = 0.6 \,^\circ$$

   $$T_1 = 22.0\pm 0.6\,^\circ$$

   $$T_2 = 23.0\pm 0.6\,^\circ$$

   $$\rho(T_1,T_2) = 0.998$$

   $$T_2 - T_1 = 1.00\pm 0.04\,^\circ \,.$$

   
   
   Dimenticando la correlazione si sarebbe ottenuto $1.0\pm0.8\,^\circ$C, con una incertezza 20 volte maggiore!
2. Usando un voltmetro digitale, applicato in due punti di un circuito, si leggono i seguenti valori: 3.512 e 3.508V. Le misure vengono ripetute più volte e i valori si ripetono esattamente uguali. Le istruzioni del tester affermano che l'errore massimo che il tester può commettere è pari allo 0.2%. Determinare la differenza di potenziale fra i due punti.

   Chiaramente, l'incertezza su ciascuno dei punti è 0.007V ( $=0.002\times 3.5\,$V) ma l'errore di calibrazione non può influenzare la differenza fra valori così vicini, specialmente se è stato verificato che, alternando le letture, effettivamente i valori si ripetono. Nella differenza conta allora soltanto l'incertezza di digitalizzazione:

   $$\Delta V = 4.0\pm 0.4\,$$mV$$\,.$$

   (L'incertezza di $0.4\,$mV è data da $\sqrt{2\times 1/12}$.)

3. Si effettuano delle misure dello spessore di tre blocchetti con un calibro Palmer fabbricato secondo le norme DIN 863. Esso ha divisioni di 1/100 di mm e la massima escursione dell'indicazione rispetto al valore vero è di $\pm 2\,\mu$m. Per ogni spessore si eseguono 10 misure, ottenendo i seguenti valori di media e deviazione standard (in mm): $\overline{x}_1=0.9832$, $\sigma_1=0.0032$, $\overline{x}_2=0.9869$, $\sigma_2=0.0028$, $\overline{x}_3=1.7341$, $\sigma_3=0.0041$. Quanto valgono i tre spessori? Valutare anche la differenza del secondo e del terzo rispetto al primo.

   Per ciascuno spessore l'incertezza totale è data dalla combinazione in quadratura dell'incertezza di tipo A ( $\sigma_i/\sqrt{10}$) e quella di tipo $B$ ( $u=2\mu$   m$/\sqrt{3}$). Nelle differenze bisogna tener conto delle eventuali correlazioni. Il tipo di strumento e di misura in oggetto appartengono al caso non ``facilmente schematizzabile'' discusso nel paragrafo 11.2.5. Ragionevoli conclusioni sono:

   
   

   $$x_1 = 0.9832 \pm 0.0015\,$$

   $$x_2 = 0.9869 \pm 0.0015\,$$

   $$x_3 = 1.7341 \pm 0.0017\,$$

   $$x_2-x_1 = 3.7 \pm 1.3\,\mu \hspace{0.4cm}$$

   $$x_3-x_1 = 0.7509 \pm 0.0023\,$$

   
   

4. Sui dati del problema precedente. Supponiamo che il coefficiente di dilatazione termica del calibro sia $\alpha_c=1.2^{-5}\,$K$^{-1}$ e quello dei blocchetti $\alpha_b=1.0^{-4}\,$K$^{-1}$. Lo sperimentatore purtroppo ha dimenticato di misurare la temperatura, ma, dalla memoria della sensazione fisiologica all'atto della misura, è convinto che essa fosse ``molto probabilmente fra 27 e 28 gradi e quasi sicuramente compresa fra 25 e 30 gradi. Come verranno forniti i risultati alla temperatura di riferimento di $20\,^\circ$C?

   I gradi di fiducia sui possibili valori di temperatura possono essere modellizzati con una triangolare o con una gaussiana a 2-3 sigma. Si ha, rispettivamente, nei tre casi: $u_1 = 1.0\,^\circ$C, $u_2 = 1.3\,^\circ$C e $u_3 = 0.8\,^\circ$C. Prendendo il valore intermedio si ottiene:

   $$\Delta T = 7.5\pm 1.0\,^\circ$$C$$\,.$$

   Applichiamo ora la correzione per la temperatura, ricordando che

   $$l = l_\circ \frac{1+\alpha_b\Delta T}{1+\alpha_c\Delta T}\,.$$

   Invertendo e trascurando i termini di ordine superiore a $\Delta T$ (essendo i coefficienti $\alpha$ molto piccoli):

   
   

   $$l_\circ = l\, \frac{1+\alpha_c\Delta T}{1+\alpha_b\Delta T}$$

   $$\approx l\,(1+\alpha_c\Delta T-\alpha_b\Delta T) = l\left[1-(\alpha_b-\alpha_c)\,\Delta T\right]$$

   $$\beta = 1-(\alpha_b-\alpha_c)\,\Delta T= 0.99934\pm 0.00009$$

   $$l_1 = 0.9826 \pm 0.0015 \,$$

   $$l_2 = 0.9862 \pm 0.0015 \,$$

   $$l_3 = 1.7330 \pm 0.0017\,$$

   $$l_2-l_1 = 3.6 \pm 1.3\,\mu$$

   $$l_3-l_1 = 0.7504 \pm 0.0023\,$$

   
   

5. ``Pesa più un chilogrammo di piombo o un chilogrammo di polistirolo?'' suona come una domanda per ingannare i bambini, ma, opportunamente riformulata, mette in imbarazzo i grandi: ``se si pongono su una bilancia di precisione un kg di piombo e un kg di polistirolo, in quale caso si leggerà il valore maggiore?" La risposta è ovviamente ``il piombo'' in quanto il polistirolo risente molto di più della spinta di Archimede dell'aria (si era assunto che la bilancia non operasse sotto vuoto, ovviamente). Facciamo un esempio: un parallelepipedo di polistirolo ha i lati di $36.3\pm 0.2\,$cm, $37.2\pm 0.2\,$cm e $36.8\pm 0.2\,$cm (incertezze scorrelate). Esso è posto su una bilancia perfettamente calibrata, posta in una stanza in cui la densità dell'aria vale esattamente 1.1836kgm$^{-3}$ (vedremo nel prossimo esercizio quanto questa affermazione sia realistica). Sulla scala digitale si legge 941g. Determinare massa e densità del polistirolo.

   Il volume $V$ vale $(4.97 \pm0.05)\cdot 10^{-2}$m$^3$ e la massa apparente $M_a$ $0.9410\pm 0.0003\,$kg, da cui:

   
   

   $$M = M_a +\rho_{aria}V = 999.8\pm 0.7\,$$

   $$\rho_p = \frac{M}{V} = \rho_{aria} + \frac{M_a}{V} = \rho_{aria} + \rho_a = 20.12\pm 0.19\, ^{-3}\,.$$

   
   

6. Quanto vale la densità dell'aria? Qualcuno si sarà insospettito dal valore ``esatto'' di 1.1836kgm$^{-3}$, specialmente quando in molti libri di testo si trova 1.293kgm$^{-3}$. Questo è un caso di incertezza dovuta ad ``inesatta definizione del misurando''. Cosè l'``aria''? Il valore di 1.1836kgm$^{-3}$ vale per ``aria di riferimento''^11.8(78.10% N$_2$; 20.94% O$_2$; 0.92% Ar,...) con lo 0.06% di CO$_2$ (invece dell'usuale valore di riferimento di 0.04%) alle seguenti condizioni ambientali: temperatura di $20\,^\circ$C, pressione atmosferica di 1000mbar e umidità relativa del 50%. Quanto vale allora l'incertezza sulla densità dell'aria? Essa dipende dall'incertezza sui fattori di influenza.

   Facciamo il seguente caso ($\varphi$ sta per umidità relativa):

   
   

   $$x_{CO_2} = 0.06\pm0.02\,\%$$

   $$T = 20\pm 1\,^\circ$$

   $$p = 1000\pm 20\,$$

   $$\varphi = 0.50\pm 0.10 \ \ ( \ 50\pm 10\,\%)\,.$$

   
   

   Per fare i conti utilizziamo seguente formula:

   $$\rho = (\rho_\circ + \varphi\,A)\left[1+0.0041\,(x_{CO_2}-0.04\,\%)\right]\,,$$ (11.35)

   
   

   dove $\rho_\circ$ è il valore della densità dell'aria secca, dipendente da temperatura e pressione, e $A$ è un coefficiente che dipende soltanto dalla temperatura (vedi tabella 11.2).

   
   

   Tabella: Densità dell'aria secca (in kgm$^{-3}$) per alcuni valori di temperatura e pressione. $A$ rappresenta il coefficiente di dipendenza dall'umidità relativa (vedi formula (11.35)).

   $T$	$p$(mbar)			$A$
   ($^\circ$C)	980	1000	1020	kgm$^{-3}$
   19	1.1690	1.1928	1.2167	$-9.87\cdot 10^{-3}$
   20	1.1650	1.1887	1.2125	$-10.47\cdot10^{-3}$
   21	1.1610	1.1847	1.2084	$-11.09\cdot10^{-3}$

   
   

   Eseguendo le derivate per via numerica (vedi paragrafo 11.2.7) troviamo i seguenti contributi all'incertezza totale

   
   

   $$x_{CO_2} = 0.06\pm0.02\,\% \rightarrow u_1 = 0.0001\, ^{-3}$$

   $$T = 20\pm 1\,^\circ \rightarrow u_2 = 0.0004\, ^{-3}$$

   $$p = 1000\pm 20\, \rightarrow u_3 = 0.0237\, ^{-3}$$

   $$\varphi = 0.50\pm 0.10\,\% \rightarrow u_4 = 0.0010\, ^{-3}$$

   
   

   Si vede quindi come il contributo più importante sia dovuto all'incertezza sulla pressione. Il valore della densità dell'aria con questo stato di conoscenza dei fattori di influenza vale quindi

   $$\rho = 1.184 \pm 0.024\,$$kg m$$^{-3}\,.$$

7. Quanto dovrebbe essere il controllo sulle variabili di influenza per poter affermare che la densità dell'aria sia esattamente $1.1836 \,$kg m$^{-3}$?

   Affermare che $\rho = 1.1836\,$kg m$^{-3}$ sia esatto vuol dire che il solo errore possibile è quello di arrotondamento. Quindi $u(\rho) \lessapprox 0.0001/\sqrt{12} = 3\cdot 10^{-5}$kg m$^{-3}$. Se le quattro incertezze contribuiscono allo stesso modo, ciascuna di esse deve valere al più $u_i \approx 1.5\cdot 10^{-5}$kg m$^{-3}.$ Ne seguono i seguenti requisiti:

   
   

   $$\sigma(x_{CO_2}) \lessapprox 0.003\,\%$$

   $$\sigma(T) \lessapprox 0.04\,^\circ$$

   $$\sigma(p) \lessapprox 0.013\,$$

   $$\sigma(\varphi) \lessapprox 0.15\,\%\,,$$

   
   

   condizioni di lavoro tutt'altro che banali! Si capisce allora come, nei casi pratici, non abbia molto senso far riferimento ad una densità dell'aria con più di tre cifre significative.