Valutazione delle incertezze di tipo B

Le incertezze di tipo $B$ sono indubbiamente quelle più critiche da valutare. Vediamo innanzitutto cosa raccomanda la Guida, poi mostriamo degli esempi.

For estimate $x_i$ of an input quantity^11.7$X_i$ that has not been obtained from repeated observations, the $\ldots$ standard uncertainty $u_i$ is evaluated by scientific judgement based on all the available information on the possible variability of $X_i$. The pool of information may include

• previous measurement data;
• experience with or general knowledge of the behaviour and properties of relevant materials and instruments;
• manufacturer's specifications;
• data provided in calibration and other certificates;
• uncertainties assigned to reference data taken from handbooks.

Detto nel linguaggio probabilistico adottato, si cerca di modellizzare, in base alla migliore conoscenza del problema, la distribuzione dei gradi di fiducia (considerando, ad esempio, gli estremi dell'intervallo di valori possibili, se ci sono valori più credibili di altri, e così via) e successivamente se ne ricava la deviazione standard. Anche se la modellizzazione è rozza e la deviazione standard che ne deriva è incerta, è importante notare che:

• le deviazioni standard valutate da piccoli campioni di dati sperimentali non sono meno incerte di quelle ottenute ``by scientific judgement''; ad esempio in un modello gaussiano l'incertezza relativa sulla valutazione è approssimativamente uguale a $1/\sqrt{2\,(n-1)}$. Per $n=5,$ 10 e 20 essa è $\approx 35$, 24 e 16 %;
• è preferibile dare le stime più verosimili delle deviazioni standard, invece di sovrastimare per motivi di prudenza: se si danno sempre le migliori stime, le incertezze globali saranno mediamente corrette; se si sovrastima ad ogni passo, saranno mediamente esagerate anche le incertezze globali.
• il modello finale di distribuzione del valore vero è reso circa normale dalla combinazione delle varianze (teorema del limite centrale) indipendentemente dalla forma esatta della distribuzione assunta.

Facciamo degli esempi.

1. Misure di altre grandezze particolari, prossime a quella di interesse ed eseguite nelle stesse condizioni, hanno fornito una deviazione standard di ripetitività $\sigma _r$. È ragionevole assumere per l'incertezza
   $$u=\sigma_r\,.$$

2. Il certificato di calibrazione di un costruttore dichiara che l'incertezza, definita come $k$ deviazioni standard, è ``$\pm\Delta$'':
   $$u=\frac{\Delta}{k}\,.$$

3. Un ricercatore afferma che una certa grandezza vale, al 90%, $\ldots\pm\Delta$. Assumendo, ragionevolmente, un modello gaussiano:
   $$u=\frac{\Delta}{1.64}\,.$$

4. Una pubblicazione riporta un risultato come $\overline{x}\pm \Delta$, specificando che la media è stata eseguita con 4 valori (3 gradi di libertà) e che l'incertezza è data al 95%. Si deduce che, verosimilmente, l'intervallo è stato calcolato mediante la $t$ di Student. Ne segue (consultando opportune tabelle):
   $$u=\frac{\Delta}{3.18}\,.$$

5. Un manuale di istruzione dichiara che l'errore massimo che lo strumento fornisce è compreso entro $\pm\Delta$. In mancanza di ulteriori affermazioni, si può assumere una distribuzione uniforme:
   $$u=\frac{2\Delta}{\sqrt{12}}=\frac{\Delta}{\sqrt{3}} =0.58\Delta\approx 0.6 \Delta\,.$$

6. Un parametro è compreso, con la quasi sicurezza, entro $\pm\Delta$, ma si tende a credere più ai valori centrali che a quelli estremi. In questo caso, è più ragionevole ipotizzare una distribuzione triangolare:
   $$u=\frac{\Delta}{\sqrt{6}}=0.41\,\Delta\approx 0.4\,\Delta\,.$$
   In modo alternativo, l'informazione potrebbe essere anche compatibile con un modello gaussiano con l'intervallo a 2 o 3 $\sigma$. Si otterebbero allora $u=\Delta/2$ o $\Delta/3$, valori a cavallo di quanto ottenuto con la triangolare. Quindi quest'ultima può essere considerata un compromesso per quantificare quello stato di incertezza.

7. Si legge un valore su uno strumento digitale, in cui l'intervallo di scala (la variazione della grandezza associata alla variazione di una unità della cifra meno significativa) vale $I$. Il valore vero potrebbe essere ovunque nell'intervallo ampio $I$. Quindi L'incertezza da associare alla quantizzazione della lettura è pari a
   $$u=\frac{I}{\sqrt{12}}=0.29\,I\approx 0.3\,I\,.$$

Figura: Modelli per le incertezze di tipo B.

La figura 11.3 mostra alcuni delle distribuzioni più comuni per modellizzare le incertezze di tipo B. Per ogni distribuzione sono riportate anche le espressioni del valore medio, varianza, skewness e kurtosis. Questi ultimi due indicatori di forma sono utili qualora si intendesse effettuare la propagazione delle incertezze con uno sviluppo al secondo ordine.