Rette di calibrazione ed estrapolazione

Molto spesso, una volta eseguito un fit su dei punti sperimentali, si è interessati al valore vero di $Y$ che corrisponde ad un dato valore di $X$. Chiaramente la sua migliore stima è data dalla retta che deriva dal fit, in quanto

$$\mu_{Y} = m\,\mu_X+c$$

$$(\mu_{Y}) = (m)\,\mu_X+ (c) = \widehat{m}\,\mu_X+\widehat{c} \,.$$ (12.15)

L'incertezza su $\mu_{Y}$ è ottenuta dalla propagazione delle incertezze, tendendo conto (di fondamentale importanza!) del termine di correlazione:

$$\sigma^2(\mu_Y) = \left(\frac{\partial \mu_Y}{\partial m}\right)^2\sigma^2(m) + \left(\frac{\partial \mu_Y}{\partial c}\right)^2\sigma^2(c)$$

$$\ \ + 2\,\frac{\partial \mu_Y}{\partial m}\, \frac{\partial \mu_Y}{\partial m}\rho(m,c)\,\sigma(m)\sigma(c)$$

$$= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{(\mu_X-\overline{x})^2}{\mbox{Var}(x)}\frac{\sigma^2}{n}\,,$$ (12.16)

ove $\sigma^2/n$ va sostituito nel modo indicato nel paragrafo precedente se le incertezze sono diverse. Le derivate vanno calcolate, come solito in corrispondenza di $\overline{m}$ e $\overline{c}$. I conti vengono lasciati per esercizio.

Si noti l'andamento di $\sigma(\mu_Y)$ in funzione di $\mu_X$. Essa è minima in corrispondenza dei punti sperimentali, in quanto tutte le informazioni contribuiscono a costringere (probabilisticamente) il valore di $\mu_Y$ in un piccolo intervallo intorno alla retta. A mano a a mano che ci allontana dai punti misurati la qualità dell'informazione su $\mu_Y$ si deteriora, come indicato molto chiaramente dalla formula 12.16. . Questo è mostrato in modo eloquente nella figura 12.1, ove le due curve tratteggiate indicano la banda di $\pm 1\,\sigma(\mu_Y)$ intorno alla retta e quelle puntinate la banda di di $\pm 2\,\sigma(\mu_Y)$ (chiaramente le scale di $\mu_X$ e di $X$ coincidono).

Infine, la figura 12.2 mostra infine la qualità della determinazione dei parametri e della determinazione di $\mu_Y$ da $\mu_X$ a seconda di deviazione standard, numero e tipo di configurazione dei punti sperimentali.

Figura: Esempi di fit nel caso di incertezze tutte uguali. I 10 punti ``sperimentali'' dei due grafici in alto (A e B) sono simulati con deviazione normale rispetto alla retta teorica di $m_\circ =0.5$ e $c_\circ =2$ e aventi $\sigma$ nei due casi rispettivamente pari a 1.0 e 0.5. I valori di $m$ e $c$ ottenuti dal fit sono riportati direttamente sul grafico. I grafici centrali (C e D) mostrano l'effetto del raggruppamento. Nel grafico a sinistra in basso la $\sigma$ vale 0.5, ma il numero di punti sperimentali è pari a 41. Nell'ultimo grafico gli stessi punti del grafico precedente sono stati ruotati di $30^\circ$ intorno al loro baricentro al fine di mostrare la non dei risultati invarianza per rotazione.