Stima dell'incertezza della singola misura dai residui

Figura: Residui e barre di incertezza ( $\pm \sigma _r$).

In realtà non c'è alcun bisogno di ripetere le serie di misure. Se ciascuna serie contiene un numero sufficiente di punti (tipicamente, leggermente superiore al numero di parametri che si vogliono valutare) essa racchiude in sé le informazioni necessarie alla valutazione delle incertezze, o almeno a quelle derivanti da errori casuali, mediante il metodo dei residui. Una volta tracciata la retta si può leggere dal grafico, per ogni punto, il residuo $e_i$, ovvero la differenza fra l'ordinata misurata e il valore della retta in corrispondenza dell'ascissa misurata, come mostrato in figura 12.3. Si ottiene quindi, dalla media dei quadrati dei residui, la stima della deviazione standard delle ordinate, assumendo che sia la stessa per tutti i punti e attribuendo soltanto alle ordinate le deviazioni dal valore vero:

$$\sigma_r = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n e_i^2}{n-2}}\,.$$

Il nome $\sigma _r$ sta a indicare sia che essa è calcolato dai residui sia che rappresenta l'equivalente della deviazione standard di ripetitività delle misure. Il fattore $n-2$ al posto di $n$ ha la stessa giustificazione dell'$n-1$ nella deviazione standard, tenendo conto che ora ci sono due vincoli fra i dati. Ripetiamo ancora una volta quanto detto a proposito di $\sigma_{n-1}$: anche se le ragioni profonde di questa scelta non sono sempre condivisibili, il risultato ``va nella direzione giusta''. Anche qui, quando $n$ è dell'ordine della decina, la correzione è ininfluente ai fini pratici.

A questo punto, finalmente si conosce l'errore casuale sulle ordinate in condizioni di ripetività (nell'ipotesi che quello sulle ascisse sia trascurabile)!

Ovviamente, si può anche fare l'esercizio opposto e attribuire tutto l'errore alle ascisse (senza dover fare tutti i conti, si può propagare $\sigma _r$ su `` $\sigma_{r_x}$'' mediante la derivata: $\sigma_{r_x}=\sigma_r/\vert m\vert$). È interessante notare che, anche se il punto di vista cambia drasticamente, saranno invarianti le conclusioni sulle grandezze fisiche di interesse, legate a coefficiente angolare e intercetta.