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Esempio numerico di un'analisi grafica

Come esercizio ricaviamoci i parametri dell'andamento dell'allungamento in funzione della massa di figura 6.3.
  1. Si traccia la retta che, giudicando a occhio, meglio si adatta fra i punti;
  2. Si ricavano due punti sulla retta ben leggibili (quelli cerchiati) e da essi i valori di $ m$ e di $ c$12.4:
    $\displaystyle P_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0.260\,$kg$\displaystyle , 0.51\,$cm$\displaystyle )$  
    $\displaystyle P_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0.820\,$kg$\displaystyle , 13.00\,$cm$\displaystyle )$  
    $\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(13.00-0.51)\, 10^{-2}\,\mbox{m}}
{(0.820-0.260)\, \mbox{kg}}
= 0.2230\, \frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}\,.$  
    $\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1-m\,x_1 = -0.0530\,$   m$\displaystyle = -5.30\,$cm$\displaystyle \,;$  

  3. Utilizzando i valori dei poarametri della retta ricavata dal grafico, si calcolano i valori ``teorici'' dell'allungamento per gli 8 valori di massa. Essi sono, in mm: 13.9; 31.5; 49.1; 66.5; 84.1; 101.8; 119.4; 137.0. Si ottengono quindi i residui dalla differenza fra allungamenti misurati e allungamenti calcolati lungo la retta: 0.1; 0.5; -0.1; -0.5; 0.9; 1.2; -0.4; 0.0. La somma dei loro quadrati è pari a 2.93mm$ ^2$, da cui si ricava

    $\displaystyle \sigma_r = 0.70\,$mm$\displaystyle \,.$

    Probabilmente gli studenti avrebbero fatto meglio a non accontentarsi della lettura al millimetro. La deviazione standard ottenuta è infatti compatibile con quella dovuta al solo effetto di arrotondamento al millimetro. Siccome tutte le incertezze che seguiranno saranno proporzionali a $ \sigma _r$, sarebbe stato importante leggere al meglio i valori, a costo di ``inventarsi i decimi''. L'analisi dei residui sfronda poi, in modo automatico, tutte le cifre superflue.
  4. Conoscendo $ \sigma _r$ si possono finalmente riportare le barre di incertezza sul grafico. Nel caso in considerazione le barre risulterebbero invisibili sulla figura in quanto confrontabili con le dimensioni dei pallini con i quali sono stati indicati i punti stessi.
  5. Per calcorare le incertezze serve conoscere anche il braccio di leva e il baricentro della distribuzione delle ascisse. Dal grafico valutiamo:
    $\displaystyle \overline{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.576 \,$kg  
    $\displaystyle \sqrt{\mbox{Var}(x)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(0.852-0.300)\,\mbox{kg}}
{\sqrt{12}}=0.159 \,\mbox{kg}$  

  6. Finalmente abbiamo il risultato:
    $\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.2230\pm 0.0016 \,\frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}$  
    $\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -53.0 \pm 0.9\,$mm$\displaystyle \ \ (= -0.0530\pm0.0009 \,$m$\displaystyle )$  
    $\displaystyle \rho(m,c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -0.96 \,.$  

    Si noti l'altissima correlazione negativa fra i due parametri: detto alla buona, è un po' come se, invece di aver misurato 2 grandezze (nel senso di 2 grandezze indipendenti), ne avessimo misurate 1.04.
  7. Confrontiamo il risultato con quanto ottenuto utilizzando il metodo dei minimi quadrati eseguito, riportando qui i risultati per comodità:
    $\displaystyle \sigma_r$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.66\,$mm  
    $\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.2231\pm 0.0013 \,\frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}$  
    $\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -52.8\pm 0.8\,$mm$\displaystyle \ \ (= -0.0528\pm0.0008 \,$m$\displaystyle )$  
    $\displaystyle \rho(m,c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -0.95 \,.$  

    L'accordo è più che soddisfacente12.5
  8. Per mostrare l'importanza del coefficiente di correlazione ci calcoliamo il valore dell'allungamento previsto per una massa di 1.000kg 12.6. Propagando lo stato di incertezza sui parametri della retta sul valore estrapolato, abbiamo:
    $\displaystyle \sigma^2(y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^2\sigma^2(m)+\sigma^2(c)+2\,x\,
\rho(m,c)\,\sigma(m)\,\sigma(c)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.56 + 0.81 - 2.76 \ $   mm$\displaystyle ^2 = 0.61\,$mm$\displaystyle ^2$  
    $\displaystyle \sigma(y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.8$   mm  
    $\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 170.0\pm0.8\,$mm$\displaystyle \,.$  

    Tralasciando il coefficiente di correlazione si sarebbe ottenuto $ \sigma(y)= 1.8\,$mm.

    Si noti infine come l'effetto dovuto al termine di correlazione sia ancora più importante per valori all'interno della distribuzione dei punti sperimentali, con un massimo nel baricentro.12.7 Per una massa di 0.576kg si prevede un allungamento di $ 75.4\pm 0.3\,$mm (che diventerebbe $ \pm 1.3$ omettendo le correlazioni).

  9. Per quanto riguarda infine le incertezze dovute ad errori sistematici dello strumento, si può dire tranquillamente che essi sono trascurabili: Possono essere molto più importanti altri errori che si comportano come errori sistematici costanti in questa serie di misure, ma che possono cambiare effettuandone un'altra. Possono essere dovuti, ad esempio, al modo di operare di chi ha eseguito le misure o ad un suo errore costante di parallasse. Con il metodo grafico proposto, anche una scelta non ottimale della retta migliore produce variazioni nel risultato (tipicamente trascurabili). Questi effetti possono essere studiati soltanto ripetendo le misure (si ricorda che l'ideale sarebbe di poter fare la misura in condizioni di riproducibilità, ovvero tenendo fissa la definizione del misurando, cambiare tutto il resto).
  10. Per concludere, tornando al punto 8, cerchiamo di chiarire, anche con esempi numerici, il significato delle diverse deviazioni standard associate alle ordinate che si incontrano effettuando i fit.
    1. Abbiamo indicato con $ \sigma(y)$ la deviazione standard che quantifica l'incertezza della previsione del valore (``vero'') di $ Y$, per un dato valore di $ X$. Come abbiamo visto, questa incertezza è minima in corrispondenza del baricentro dei punti sperimentali e aumenta quando ci si allontana da esso.
    2. $ \sigma _r$ è dovuta invece alle fluttuazioni attese del singolo valore misurato intorno all'andamento medio dei punti sperimentali. Si sarebbe tentati di dire che essa misura le fluttuazioni dei valori delle $ y$ letti avendo fissato $ X$, ma in realtà essa tiene conto anche delle piccole fluttuazioni del valore di $ Y$ da un valore di $ X$ all'altro.
    3. C'è infine un'ultima deviazione standard, che chiamiamo $ \sigma_t(y)$ che tiene conto della combinazione dei due effetti. Essa risponde alla domanda: ``che valori di $ y$ potrei osservare se facessi l'esperimento fissando il valore di $ x$?''. L'incertezza sui parametri si riflette sul valore vero di $ y$ ed inoltre la singola misura ha un'ulteriore incertezza intorno al valore di $ y$ medio. Si può dimostrare che queste due incertezze si combinano, come al solito, quadraticamente:

      $\displaystyle \sigma_t^2(y) = \sigma^2(y)+\sigma_r^2\,.$ (12.26)

    Facciamo due esempi:
    $\displaystyle x=0.576\,$kg $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sigma_t(y) = 0.74\,$mm  
    $\displaystyle x=1.000\,$kg $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sigma_t(y) = 1.1\,$mm$\displaystyle \,.$  


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Giulio D'Agostini 2001-04-02