Critica degli ``errori statistici''

L'altra regola di propagazione di incertezze generalmente nota (ma, al dire il vero, non troppo fra gli insegnanti di scuola media) è quella cosiddetta degli ``errori statistici'', che riportiamo per comodità:

$$\sigma^2(y) = \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)^2\sigma^2(x_1) + \left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)^2\sigma^2(x_2) + \ldots$$ (A.9)

Essa è decisamente meglio di quella precedente, se non altro in quanto si sostituiscono probabilità a incertezze. Ma all'atto pratico anche questa formula presenta i suoi problemi.

• Innanzitutto è da premettere il dato di fatto che molti studenti studiano questa formula in modo astratto, senza nessuna applicazione durante l'intero corso di laurea, e quindi si crea un atteggiamento di diffidenza nei suoi confronti. E difatti, alla prima occasione in cui si tenta di applicarla, nascono i problemi.
• Seconda premessa è che la (A.9) non è completa, essendo valida soltanto nel caso in cui le $x_i$ sono indipendenti, condizione che è violata qualora le grandezze sono misurate con lo stesso strumento, un caso tutt'altro che astratto.
• Comunque, il primo problema legato a tale formula è quello di interpretazione. Per qualcuno potrà sembrare un cavillo filosofico, ma in realtà è un punto cruciale. Cosa significa $y\pm \sigma(y)$? La stragrande maggioranza delle persone interpellate sono concordi nell'affermare che (assunto un modello gaussiano) essa voglia indicare

  $$P\left[y-\sigma(y) \le y_v \le y+\sigma(y)\right] = 68\,\%\,:$$ (A.10)

  
  

  ``c'è il 68% di probabilità che il valor vero di $y$ si trova nell'intervallo $y\pm \sigma(y)$''.

  Quando poi si chiede cosa sia la probabilità si ottengono risposte tipiche (``casi favorevoli su casi possibili'' e ``limite della frequenza'') che non contemplano affermazioni probabilistiche sui valori veri, così come sono espresse dalla (A.10).
• Un problema pratico tipico è quello di ``cosa mettere nelle $\sigma(x_i)$'' della (A.9). Siccome questa formula deriva dal calcolo delle probabilità, applicato alle variabili casuali, le $x_i$ e la $y$ che entrano nella formula devono avere il significato di variabile casuale e le $\sigma(x_i)$ quello di deviazione standard. Quindi, se non si associano variabili casuali ai valori veri, l'uso della (A.9) è arbitrario.
• Nel caso di $n$ misure ripetute, si impara che le $\sigma(x_i)$ vanno calcolate come `` $\sigma/\sqrt{n}$'' (nonostante si incontra ancora qualcuno diffidente del fattore $1/\sqrt{n}$ e che preferisce ometterlo per ``non avere errori troppo piccoli''). Purtroppo, non sempre è possibile effettuare molte misure che mostrino una variabilità da manuale dei valori letti. Come comportarsi, ad esempio, se:
  • si effettua una sola misura ($n=1$)?
  • si legge un grandissimo numero di volte (`` $n\rightarrow \infty$'') lo stesso valore (ad esempio 3.512 V su uno strumento digitale)?
• Come comportarsi se sono presenti anche ``errori sistematici''?
• Come valutare e gestire le correlazioni fra diverse misure introdotte, ad esempio, da errori sistematici comuni?

La conseguenza di questi problemi tecnici (usualmente quello di principio sull'interpretazione della probabilità non viene nemmeno preso in considerazione) è che in genere gli studenti imparano delle formule che poi non utilizzeranno e seguitano a lavorare con gli errori massimi. Qualcuno prova a trasformare ``errori massimi'' in ``errori statistici'', considerando $\Delta x = 3\sigma(x)$ e, nella direzione opposta, $\sigma(x) = \Delta x/\sqrt{6}$ (assumendo una distribuzione uniforme del valore vero di $x$ entro $2\,\Delta x$). La seconda trasformazione è ragionevolissima se veramente si crede che $x$ possa assumere qualsiasi valore entro , sebbene questo credere sia in contrasto con le interpretazioni usuali di probabilità. La trasformazione inversa ( ), con l'uso successiva delle propagazioni lineari è invece assurdo in quanto in contrasto con le proprie credenze (gli errori massimi assumono, tacitamente, indifferenza entro $\pm\Delta$).