${\bf\circlearrowright }$ Distribuzione binomiale - da capo

Reintroduciamo la distribuzione binomiale in modo alternativo, ad uso di chi è poco disinvolto con il calcolo combinatorio, o per coloro che abbiano saltato il capitolo 3

Supponiamo di lanciare un dado e di essere interessati all'uscita di un certo valore, per esempio il ``4''. Definiamo successo ogni esito del lancio in cui si verifica il numero ``4''. Pensiamo di dover eseguire un certo numero $n$ di lanci ed esaminiamo la variabile $X$ ``numero di successi'' ( $0\leq X\leq n$). Vediamo quanto vale la probabilità della variabile casuale $X$ all'aumentare del numero dei lanci ($S$ sta per successo e $N$ sta per insuccesso):

n = 1	$e_i$	$P(e_i)$	$X$
	$S$	1/6	1
	$N$	5/6	0

da cui $f(0)=P(X=0)=\frac{5}{6}$ e $f(1)=P(X=1)=\frac{1}{6}$. È immediato provare che $f(0)+f(1)= 1$.

n = 2	$e_i$	$P(e_i)$	$X$
	$SS$	$(1/6)^2$	2
	$SN$	$(1/6)\times (5/6)$	1
	$NS$	$(5/6)\times (1/6)$	1
	$NN$	$(5/6)^2$	0

da cui $f(0) = (\frac{5}{6})^2$, $f(1)=2\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}$ e $f(2)=(\frac{1}{6})^2$ e chiaramente anche in questo caso $\sum_i f(x_i)=1$.

n = 3	$e_i$	$P(e_i)$	$X$
	$SSS$	$(1/6)^3$	3
	$SSN$	$(1/6)^2\times (5/6)$	2
	$SNS$	$(1/6)^2\times (5/6)$	2
	$SNN$	$(1/6)\times (5/6)^2$	1
	$NSS$	$(1/6)^2\times (5/6)$	2
	$NSN$	$(1/6)\times (5/6)^2$	1
	$NNS$	$(1/6)\times (5/6)^2$	1
	$NNN$	$(5/6)^3$	0

Otteniamo quindi per la variabile $X$:

$x$	$f(x)$
0	$(5/6)^3$
1	$3\times (1/6)\times (5/6)^2$
2	$3\times (1/6)^2\times (5/6)$
3	$(1/6)^3$

Notiamo l'analogia con lo sviluppo del binomio di Newton. Infatti chiamando $p$ la probabilità di un successo nel singolo lancio ( $p=\frac{1}{6}$ nel nostro esempio) e $q=1-p$ la probabilità di un insuccesso, le $f(x_i)$ corrispondono ai termini dello sviluppo di $(p+q)^n$. Questo è dovuto al fatto che l'evento $x$ successi e $(n-x)$ insuccessi si può presentare in tanti modi diversi, ed esattamente quante sono le possibilità di costituire, partendo da $n$ elementi, dei gruppetti di $x$ elementi ciacuno, indipendentemente dall'ordine con cui gli $x$ elementi sono scelti. In termini matematici esse sono le combinazioni di $n$ elementi presi ``$x$ a $x$''. La probabilità di ciascuno dei modi è pari a $p^xq^{n-x}$. Quindi, in generale, possiamo scrivere questa distribuzione di probabilità, chiamata binomiale, come:

$$f(x\vert{\cal B}_{n,p}) = \binom{n}{x} \, p^x\, q^{n-x}\,.$$ (7.5)

Resta da calcolar quanto vale il coefficiente binomiale

$$\binom{n}{x} \,.$$

Ricordiamo qui brevemente i concetti di permutazioni e combinazioni:

Permutazioni: il numero totale dei possibili modi di disporre (``ordinare'',``mettere in fila'') $n$ oggetti si calcola considerando che ci sono $n$ possibilità per il primo, $n-1$ per il secondo, $n-2$ per il terzo e così via. Cioè il numero di permutazioni di $n$ oggetti è pari a $n!$.

Combinazioni: supponiamo ora di dover scegliere un $x$ elementi da un insieme che ne contiene un numero $n$ senza curarsi dell'ordine con cui essi sono scelti. Ad esempio in una classe di 25 persone si vogliono formare delle squadre di pallavolo da 6 persone. Quante squadre diverse si possono fare? Abbiamo 25 modi per scegliere la prima persona, 24 per la seconda e così via, cioè $25\times 24\times \cdots \times \cdot(25-6+1)$. Così facendo abbiamo contato $6!=720$ volte ( ovvero il numero di permutazioni di 6 elementi) ogni squadra composta dagli stessi giocatori ma estratti in modi diversi. Quindi, in generale, bisogna divedere l'espressione precedentemente trovata per $x!$, ottenendo

$$\frac{n\, (n-1)\,\cdots \, (n-x+1)} {x!}$$

. Moltiplicando numeratore e denominatore per $(n-x)!$ otteniamo:

$$\binom{n}{x} = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\,,$$

e quindi

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x\, q^{n-... ... 2, \ldots, \infty \\ 0 \le p \le 1 \\ x = 0, 1, \ldots, n \end{array}\right.$$ (7.6)