Distribuzione binomiale

Consideriamo ora la seconda schematizzazione di eventi legati al processo di Bernoulli, descritta nel paragrafo 6.6.4. Ovvero, interessandoci al numero di successi che possono verificarsi in un certo numero di tentativi effettuati nelle stesse condizioni.

Se analizziamo $n$ prove indipendenti, per ciascuna delle quali la probabilità di successo è $p$, la variabile casuale $X$ = ``numero totale di successi'' può andare da 0 a $n$ (da nessuno a tutti).

Ricaviamoci la funzione di probabilità, a partire dai valori ``più facili''.

$$f(n) = P(E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n) = p^n$$

$$f(0) = P(\overline{E}_1 \cap \overline{E}_2 \cap \cdots \cap \overline{E}_n) = (1-p)^n = q^n\,.$$

Per $x=1$ si deve verificare un solo successo e $n-1$ insuccessi. Quindi sembrerebbe, ad esempio, che

$$f(1) \stackrel{\bf ?}{=} p\, (1-p)^{n-1}\,.$$ (7.1)

Ma in realtà questa espressione dà la probabilità che il successo si verifichi ad un certo tentativo (ad esempio al primo) e gli insuccessi nei rimanenti $n-1$ tentativi. Poiché abbiamo $n$ possibili tentativi fra loro incompatibili nei quali si può verificare il successo, dobbiamo moltiplicare l'espressione precedente per $n$. Per $f(n-1)$ otteniamo un analogo risultato. Quindi:

$$f(1) = n\,p\, (1-p)^{n-1}$$

$$f(n-1) = n\,p^{n-1}\, (1-p) \,.$$

Ne segue che l'espressione generale della funzione di probabilità è data dalla probabilità che si verifichino $x$ successi e $n-x$ insuccessi, pari a

$$p^x\, (1-p)^{n-x}\,,$$ (7.2)

moltiplicata per il numero di volte che, indipendentemente dall'ordine, si possono ottenere gli $x$ successi in $n$ prove. Questo numero è pari a quello delle combinazioni semplici di $n$ elementi presi $x$ a $x$, che - ricordiamo - sono date dai coefficienti binomiali, indicati con

$$\binom{c}{n}$$

(vedi paragrafo 3.2.5). La formula generale della funzione di probabilità è quindi

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \binom{n}{x} p^x\, (1-p)^{n-x} \hsp... ... 2, \ldots, \infty \\ 0 \le p \le 1 \\ x = 0, 1, \ldots, n \end{array}\right.$$ (7.3)

Esplicitando l'espressione dei coefficienti binomiali, la (7.3) può essere riscritta in modo più pratico come

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x (1-p)^{n-x}\,,$$ (7.4)

ovvero

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x q^{n-x}\,,$$

avendo indicato con $q$ la probabilità di insuccesso $1-p$. Per quanto riguarda la funzione di ripartizione $F(x)$, in questo caso essa non ha una espressione matematica semplice e va calcolata dalla definizione stessa, sommando tutti i valori di $f(x)$ fino al numero intero positivo immediatamente precedente ad $x$ (ricordiamo ancora una volta che $F(x)$ è convenzionalmente definita su tutto l'asse reale).