pzd100Cammino casuale e problema della rovina del giocatore

Come applicazione della distribuzione binomiale, immaginiamo il sequente processo. Una persona lancia una moneta: se esce testa fa un passo avanti; se esce croce fa un passo indietro (vedi figura 7.5). Dove si troverà dopo $n$ lanci?

Figura: Processo di Bernoulli nel dominio del tempo.

Questo esempio illustra un importante modello di fenomeni casuali, chiamato cammino (o marcia) casuale o (in inglese random walk). Con esso è possibile descrivere fenomeni interessanti di diffusione come il moto browniano e la combinazione degli errori di misura, e anche la distribuzione di velocità delle molecole.

Per simmetria, il valore atteso della posizione dopo ogni passo è pari a zero (punto iniziale). Siamo quindi interessati a calcolare la sola varianza. Notiamo che se chiamiamo con $S$ la variabile casuale ``spostamento in avanti'', con $X$ il ``numero di teste'' e con $Y$ il ``numero di croci'', abbiamo che $S = X - Y\,.$ Ma poiché $Y=n-X$, abbiamo

$$S = 2\,X -n$$ (7.24)

$$(S) = 2\, (X) - n = 0$$ (7.25)

$$(S) = (X) = \frac{n}{2}$$ (7.26)

$$\sigma(S) = \sqrt{\frac{n}{2}}\,.$$ (7.27)

Quindi la deviazione standard cresce come la radice quadrata del numero di passi compiuti. Per ricavare la distribuzione di probabilità di $S$, notiamo che $P(S=s)$ è uguale a $P(X = (s+n)/2)$. Essendo $X$ distribuita secondo una binomiale, ne segue:

$$f(s) \equiv P(S=s) = P(X = \frac{s+n}{2}\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$$

$$= \binom{n}{frac{s+n}{2}} \,p^{\frac{n+s}{2}}(1-p)^{\frac{n-s}{2}}\,,$$ (7.28)

che nel nostro caso ($p=1/2$) diventa

$$f(s) = \binom{n}{\frac{s+n}{2}} \,\frac{1}{2^n}\,,$$ (7.29)

La marcia a caso serve anche a descrivere un classico problema dei giochi d'azzardo, quello della rovina del giocatore. Per risolverlo si valuta la probabilità che un giocatore, iniziando a giocare con una certa somma iniziale $s_\circ$, si trovi senza soldi ad un certo punto del gioco e quindi non possa più tentare la fortuna per rifarsi. In termini di marcia casuale è equivalente è equivalente a cominciare a $s_\circ$ passi da un burrone. Per risolvere il problema, si parte dalle formule che abbiamo appena visto e si calcola la funzione di probabilità della variabile casuale $K$ ``arriva in $s_\circ$ allo spostamento $k$'' (arrivare a $s_\circ$ partendo da zero, è equivalente ad arrivare a zero partendo da $s_\circ$).

Random walk, moto browniano ..