Alcuni esempi numerici

La tabella 7.4 mostra, per alcuni esempi di distribuzioni, i valori di probabilità legati agli intervalli $\mu\pm \sigma$ e $\mu\pm 2\,\sigma$. Si noti che, trattandosi di distribuzioni discrete definite per valori interi ed essendo invece $\mu$ e $\sigma$ reali, potrebbe succedere per puro caso che, a seconda dei parametri, l'intervallo $\mu\pm \sigma$ comprenda o no uno o due valori della variabile, producendo una variazione discontinua nel valore della probabilità. Siccome la tabella 7.4 è mostrata a scopo indicativo, gli intervalli sono stati arrotondati ai valori interi.

Tabella: Probabilità che il numero aleatorio $X$ sia compreso nell'intervallo di una o due $\sigma$ intorno alla sua previsione, valutata per alcune distribuzioni di probabilità. $P($``$X\approx \mu\pm k\sigma$''$)$ sta per $P(\mu -k\,\sigma\lessapprox X \lessapprox \mu +k\,\sigma)$, dove ``$\approx$'' indica che le valutazioni sono in genere approssimate arrotondando le ampiezze degli intervalli a valori interi. Nell'ultima riga (``Cebicev'') è anche riportato il limite ottenuto dall'uguaglianza di Cebicev (vedi paragrafo 7.10.3).

distr.	$\mu$	$\sigma$	$P($``$X\approx \mu\pm\sigma$''$)$	$P($``$X\approx \mu\pm 2\sigma$''$)$
			(%)	(%)
${\cal K}_{1,6}$	3.5	1.7	$\approx 67$	100
${\cal K}_{1,90}$	45.5	26	$\approx 58$	100
${\cal B}_{\frac{1}{2}}$	0.5	0.5	1	1
${\cal B}_{\frac{1}{10}}$	0.1	0.3	90	90
${\cal B}_{0.99}$	0.99	0.10	99	99
${\cal G}_{\frac{1}{2}}$	2.0	1.4	$\approx 88$	$\approx 97$
${\cal G}_{\frac{1}{18}}$	18.0	17.5	$\approx 86$	$\approx 97$
${\cal B}_{5,\frac{1}{2}}$	2.5	1.1	$\approx 97$	$\approx 100$
${\cal B}_{10,\frac{1}{2}}$	5.0	1.6	$\approx 89$	$\approx 97$
${\cal B}_{20,\frac{1}{2}}$	10.0	2.2	$\approx 74$	$\approx 96$
${\cal B}_{5,0.8}$	4.0	0.9	$\approx 94$	$\approx 99$
${\cal B}_{10,0.8}$	8.0	1.3	$\approx 77$	$\approx 99$
${\cal B}_{20,0.8}$	16.0	1.8	$\approx 84$	$\approx 99$
${\cal P}_{1}$	1.0	1	$\approx 92$	$\approx 98$
${\cal P}_{5}$	5.0	2.2	$\approx 74$	$\approx 97$
${\cal P}_{20}$	20.0	4.5	$\approx 69$	$\approx 97$
${\cal P}a_{2,\frac{1}{2}}$	4.0	2.0	$\approx 89$	$\approx 96$
${\cal P}a_{5,\frac{1}{2}}$	10.0	3.2	$\approx 76$	$\approx 96$
${\cal P}a_{10,\frac{1}{2}}$	20.0	4.5	$\approx 70$	$\approx 97$
``Cebicev''	-	-	$\ge 0$	$\ge 75$

Si noti come, nonostante le variazione da caso a caso, si possa tranquillamente affermare che c'è ``buona'' probabilità di trovare la variabile casuale ``entro un sigma'' dal valore atteso, mentre si è abbastanza sicuri che questo si verifichi se si sceglie un ``intervallo di due sigma''.

Cosa si può dire invece su tale probabilità si conoscono soltanto i valori si $m$ e $\sigma$, ma non è dato di sapere il tipo di distribuzione? Poiché valore atteso e varianza sono legati alla distribuzione, ovvero, per dirlo in modo figurato, alla configurazione dei valori della variabile casuale, in qualche modo dovrebbe essere possibile affermare qualcosa di generale su tale configurazione, che si rifletta sui valori di probabilità di interesse. Questo è quanto affermato dalla disuguaglianza di Cebicev, dimostrata a partire dalla disuguaglianza di Markov