Disuguaglianza di Markov

Questa disuguaglianza permette di stabilire un limite superiore al valore di probabilità dalla sola conoscenza del valore atteso $\mu$, a condizione che la variabile casuale sia definita non negativa. Dato un valore valore $\alpha > \mu$ si ha che

$$P(X\ge\alpha) \le \frac{\mu}{\alpha}\,.$$ (7.30)

Difatti, dalla definizione operativa di valore atteso e scegliendo un valore di $k$ tale che per $i\ge k$ $X$ sia maggiore di $\alpha$, segue

$$\mu = \sum_{i=1}^{n} x_if(x_i) \ge \sum_{i=k}^{n}x_if(x_i)$$

$$\ge \sum_{i=k}^{n}\alpha f(x_i) = \alpha \sum_{i=k}^{n}f(x_i) = \alpha\, P(X\ge \alpha)\,,$$

da cui segue la (7.32). Per esempio, la sola conoscenza di $\mu=2$ implica $P(X\ge 6) \le 1/3$. Se però si venisse a sapere che la distribuzione è di Poisson il valore di probabilità sarebbe dell'1.7%; se fosse una binomiale di $p=0.2$ esso varrebbe 0.7; se una geometrica 1.6%. Tutti i valori sono compresi entro il limite dato dalla (7.32).