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Disuguaglianza di Markov

Questa disuguaglianza permette di stabilire un limite superiore al valore di probabilità dalla sola conoscenza del valore atteso $ \mu $, a condizione che la variabile casuale sia definita non negativa. Dato un valore valore $ \alpha > \mu$ si ha che

$\displaystyle P(X\ge\alpha) \le \frac{\mu}{\alpha}\,.$ (7.30)

Difatti, dalla definizione operativa di valore atteso e scegliendo un valore di $ k$ tale che per $ i\ge k$ $ X$ sia maggiore di $ \alpha $, segue
$\displaystyle \mu = \sum_{i=1}^{n} x_if(x_i)$ $\displaystyle \ge$ $\displaystyle \sum_{i=k}^{n}x_if(x_i)$  
  $\displaystyle \ge$ $\displaystyle \sum_{i=k}^{n}\alpha f(x_i) =
\alpha \sum_{i=k}^{n}f(x_i) =
\alpha\, P(X\ge \alpha)\,,$  

da cui segue la (7.32). Per esempio, la sola conoscenza di $ \mu=2$ implica $ P(X\ge 6) \le 1/3$. Se però si venisse a sapere che la distribuzione è di Poisson il valore di probabilità sarebbe dell'1.7%; se fosse una binomiale di $ p=0.2$ esso varrebbe 0.7; se una geometrica 1.6%. Tutti i valori sono compresi entro il limite dato dalla (7.32).


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Giulio D'Agostini 2001-04-02