Problemi

1. La Ferrero dichiara che 1 ovetto Kinder su 5 contiene una sorpresa ``interessante''. Un bambino compra 6 ovetti. Quanto vale la probabilità che trovi esattamente 2 sorprese? Che ce ne trovi almeno una?

2. Seguito del problema precedente: 8 bambini acquistano ciascuno 6 ovetti. Quanto vale la probabilità che esattamente 3 bambini trovino due sorprese?

3. Sempre sui problemi precedenti: un bambino acquista ogni giorno, mentre va a scuola, due ovetti. Calcolare la previsione di giorni che devono passare affinché gli capiti di vincere due sorprese la stessa mattina.

4. Una variabile casuale $X$ segue una distribuzione binomiale di valor medio 4 e varianza 3. Trovare la probabilità che la variabile casuale assuma un valore minore di 5.

5. Un esperimento consiste in 2 lanci di 5 monete diverse, lanciate simultaneamente. Le monete sono: 100 Lit, 500 Lit, 1 DM, 1 FS e 10 FF. Quante vale la probabilità che in totale si verifichino esattamente 3 teste?

6. Due monete vengono saldate fra di loro in modo tale che risultino affiancate e che la testa dell'una sia dalla stessa parte della croce dell'altra. Le due monete sono lanciate per cinque volte. Quanto vale la probabilità di osservare in totale esattamente 3 teste?

7. Un esperimento consiste in: lancio di una moneta, lancio di un dado, estrazione di un numero della tombola, estrazione di un numero alla roulette ed estrazione di una carta da gioco da un mazzo di 40 carte. Si definisce evento favorevole nei diversi giochi il verificarsi, rispettivamente, di: testa; numero 6; numero maggiore di 30; numero 8; denari. Quanto vale la probabilità di avere un numero totale di successi minore o uguale ad 1? Quanto vale la probabilità di ottenere 5 eventi favorevoli?

8. Un ingegnere della motorizzazione sa per sua esperienza che il $60\,\%$ dei candidati riescano a passare l'esame di guida. Se in un giorno dovrà esaminare 10 candidati, in quanto stimerà la probabilità che almeno 8 siano promossi, senza nessun'altra informazione (nemmeno guardandoli in faccia o sapendo età, sesso, etc.)?

9. Risolvere il problema sulla suddivisione della posta in caso di interruzione del gioco (n. 31 del capitolo 2) considerando la distribuzione di probabilità del numero di vittorie dei due giocatori nelle partite residue.

10. Variazione sul tema del problema delle sei scatole (nr. 18 e 19 del capitolo 5). Immaginiamo che la scatola scelta sia stata preparata scegliendo a caso 5 palline da un grande sacco che conteneva in proporzione uguale palline bianche e nere. Si calcoli $P(H_i\,\vert\,I_i)$ con $j=0,\ldots 3$, ove $I_0$ è lo stato di informazione iniziale e $I_1$, $I_2$ e $I_3$ sono gli esiti delle estrazioni del problema 18 del capitolo 5. Si calcoli anche $P(B\,\vert\,I_i)$, ove $B$ sta per la pallina bianca.

11. In una razza di cani il mantello nero ($N$) domina su quello rosso ($n$). Una cagna nera dal genotipo eterozigote ($N$, $n$) viene incrociata con un maschio omozigote recessivo, ovvero ($n$, $n$). Calcolare le probabilità che su 6 cuccioli ne nascano rispettivamente 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 di colore rosso.

12. Un campione contiene $2.3\times 10^{24}$ nuclei radioattivi. La probabilità che uno dei nuclei possa nell'intervallo di tempo di un secondo vale $3.8\times 10^{-25}$. Calcolare la probabilità di registrare, durante un secondo di osservazione, un numero di decadimenti pari a 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

13. È noto che un certi fenomeni si verificano casualmente con una frequenza media di 50 l'ora. Calcolare la probabilità di osservarne almeno uno in un intervallo di osservazione di 30 secondi.

14. Sul problema precedente. Ammettiamo di ripetere per 10 volte le osservazioni da 30 secondi precedentemente descritte. Quanto vale la probabilità che in 5 delle 10 osservazioni non si verichi il fenomeno di interesse?

15. Uno sperimentatore ha buoni ragioni per ritenere che il numero di conteggi di un certo fenomeno segua la distribuzione di Poisson. Valutare la probabilità che si verifichino almeno 4 conteggi, sapendo che lo sperimenattore ritiene che la probabilità di non osservarne nessuno sia del 5%.

16. Un campione di materia contiene $10^{22}$ nuclei. Un contatore di radioattività registra una frequenza di decadimenti di 100 al minuto. Quanto vale la probabilità che uno preciso nucleo decada in un intervallo di tempo di un secondo?

17. Una dattilografa scrive un resoconto costituito da 15 cartelle. Ciascuna cartella ha 20 linee di 60 caratteri ciascuna. La probabilità che la dattilografa sbagli un carattere è dello $0.1\,\%$. Quanto vale la probabilità che in una cartella non ci sia nemmeno un errore? Quanto vale la probabilità che sull'intero resoconto ci siano al più 10 errori?

18. Una variabile casuale segue una distribuzione di Poisson. Sapendo che la probabilità che si verifichi un valore diverso da 0 vale $98.47\,\%$, determinare il coefficiente di variazione della distribuzione.

19. Una variabile casuale segue una distribuzione di Poisson. Sapendo che il valore medio della distribuzione è pari a due volte il valore della deviazione standard, trovare la probabilità che la variabile casuale assuma un valore più grande di 2.

20. Un certo giorno nel reparto di ostetria di un ospedale sono disponibili 10 posti letto. La media giornaliera del numero di donne che si presentano al reparto per partorire è pari a 6.5. Quanto vale la probabilità che una o più donne possa essere non accettata?

21. Fra le 16:00 e le 17:00 in un tratto di strada di una grande città transitano in media 20 taxi. Il $50\,\%$ è occupato e, dei restanti, il $70\,\%$ è prenotato. In base a queste informazioni:
    1. Quanto vale la probabilità che un giorno passino al più 10 taxi in quell'ora? E la probabilità che ne passino esattamente 10?
    2. Nel caso ne passino esattamente 10: quanto vale la probabilità che di essi almeno 2 siano liberi? E nel caso ne passano 20?
    3. Quanto vale la probabilità che, uscendo dall'ufficio alle 16:30, si riesca a prendere un taxi al volo entro un quarto d'ora?
    4. Quanto vale la probabilità che in una settimana lavorativa di 5 giorni si riesca almeno 2 volte a prendere un taxi entro un quarto d'ora?

22. Uno strumento registra dei di fenomeni casuali che seguono la distribuzione di Poisson e si verificano con una frequenza di 50 volte al secondo. Per quanto tempo bisognerà tenere lo strumento in funzione affinché l'incertezza di previsione relativa sul numero di conteggi che saranno registrati sia dell'1%?

23. Riprendiamo il problema 9 del capitolo 2. Supponiamo di disporre di un dispositivo (tipicamente un programma di simulazione al computer) che permetta di distribuire in modo casuale dei punti all'interno del quadrato. Supponiamo di generare in totale 10000 punti. Trovare il valore atteso, la deviazione standard e il coefficiente di variazione del numero di punti che cade all'interno del quarto di cerchio. È possibile utilizzare questo dispositivo per stimare empiricamante il valore di $\pi$ dalla frequenza osservata? Sapendo che $\pi\approx 3.14$, quanti punti bisogna generare affinché il coefficiente di variazione di $\widehat{\pi}$ (``valore misurato di $\pi$'') sia pari a 0.0001?

24. Calcolare la previsione del numero di molecole in un millimetro cubico di gas perfetto a pressione atmosferica e ad una temperatura di 20$^\circ$C.

25. Sui dati del problema precedente. Calcolare il lato del cubo tale che sia del 10%la probabilità che, ad un certo istante, non vi sia alcuna molecola al suo interno. Per avere un'idea di quanto poco compatta sia la materia in tali condizioni, stimare l'ordine di grandezza del numero di molecole che sarebbe possibile compattare all'interno di tale volumetto, assumendo per le molecole delle dimensioni lineari dell'ordine di 0.1 nm.

26. Un rivelatore risponde al passaggio di una particella emettendo in media 1000 fotoni. In media l'$1\,\%$ dei fotoni riesce ad arrivare su un fotocatodo dove ciascuno dei fotoni ha una probabilità del $36\,\%$ di emettere un elettrone. L'elettrone entra in un dispositivo opportuno (fotomoltiplicatore) che produce, con probabilità 1, un impulso elettrico di ampiezza maggiore di $0.1\,V$. Nel caso che, dal passaggio di una particella siano prodotti più impulsi, questi vengono sommati. Infine, un dispositivo elettronico fornisce un segnale percepibile dallo sperimentatore se esso riceve un impulso di almeno $0.05\, V$. Calcolare l'efficienza del rivelatore, ovvero la probabilità che lo sperimentatore registri un segnale al passaggio di una particella. (Assumere che fra l'arrivo di due particelle passi abbastanza tempo in modo tale che esse non diano luogo a segnali che si confonderebbero fra di loro.)

27. Una persona fa il seguente solitario: estrae a caso una carta da un mazzo da 52, la guarda e la rimette nel mazzo, rimischia e cosi' via. Vince quando ha trovato per 3 volte la regina dui cuori. Calcolare la previsione (con relativa incertezza) del numero di volte che deve provare.

28. In un paese il reddito medio per ogni persona è pari a 10000$ l'anno con una deviazione standard di 3000$. Qual'è la probabilità che scelta una persona a caso essa abbia un reddito superiore a 30000$?

29. Con riferimento ai dati sperimentali dei morti da calcio di cavallo di tabella 7.6: scelto a caso un ``ipotetico'' reggimento e scelti a caso due anni, è giusto dire che la probabilità che ci siano almeno due morti nel periodo dei due anni sia il doppio della probabilità che ci sia almeno un morto in un anno? La risposta dipende dal fatto che i due anni scelti siano consecutivi o no?

30. Sempre sugli stessi dati sperimentali del problema precedente: immaginiamo di estrarre a sorte uno dei 200 reggimenti che sono serviti a ricavare i dati di mortalità. Quanto vale la probabilità che uno dei reggimenti registri un numero di incidenti maggiore o uguale a 6?

31. Risolvere il problema 10 del capitolo 4 facendo uso della distribuzione ipergeometrica.

32. Un insegnante vuole ``dimostrare'' che, lanciando un grande numero di monete, la frequenza relativa di teste ``è'' del 50%. Quante monete deve far lanciare dagli studenti affinché la sua incertezza di previsione sia inferiore a 0.01?