Proprietà della funzione densità di probabilità e della funzione di ripartizione

Dalle regole di base della probabilità seguono le seguenti proprietà che la densità di probabilità e la funzione di ripartizione devono soddisfare (si veda anche il paragrafo 6.5):

• $f(x) \geq 0$, in quanto $f(x)\,$d$x \geq 0$: la densità di probabilità è definita non negativa;
• $\int_{-\infty}^{+\infty}\! f(x)\,$d$x=1\,$: la probabilità totale vale 1; si dice anche che $f(x)$ è normalizzata a 1;
• $0\leq F(x)\leq 1$, dato il significato probabilistico che possiede; non c'è invece nessun vincolo al limite superiore di $f(x)$ purché essa assuma valori molto maggiori di 1 in intervalli molto piccoli, in modo tale che l'integrale nell'intervallo sia minore o uguale all'unità;
• $F(x)$ è una funzione non decrescente di $x$, essendo la sua derivata definita non negativa;
• $\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x) = 0$ e $\lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) = 1$;
• Il valore della probabilità in un intervallo è dato da:
  

  $$P(a\leq X \leq b) = \int_a^b\!f(x)\, x$$

  $$= \int_{-\infty}^b\!f(x)\, x -\int_{-\infty}^a\!f(x)\, x$$

  $$= F(b)-F(a);$$

  
  

Figura: Distribuzioni di probabilità di variabili casuali continue. Le $A$ e $B$ illustrano l'interpretazione geometrica della probabilità. La $C$ mostra la funzione di ripartizione relativa alla $f(x)$ delle $A$ e $B$.

La Fig.  8.1 mostra la rappresentazione grafica di una generica distribuzione di variabile continua. Si noti l'interpretazione geometrica di probabilità come l'area sotto $f(x)$.