Distribuzione uniforme continua

La più semplice delle funzioni di distribuzione di probabilità di variabile continua è quella in cui si assegna lo stesso grado di fiducia a tutti i possibili valori di una variabile definita in un certo intervallo. Essa è detta distribuzione uniforme. Nell'esempio precedente della pallina puntiforme si può ottenere una distribuzione uniforme se si considerano i punti un piccolo intervallo finito (ad esempio da $a=-1\,\mu$m a $b=+1\,\mu$m), subordinatamente alla condizione che la pallina cada in quell'intervallo. Avendo tutti i punti lo stesso grado di fiducia, segue che

$$f(x) = k \ \ \ \ \ \ \ a\leq x\leq b$$

Il valore della costante $k$ viene ricavato dalla condizione di normalizzazione:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\!f(x)\,$$d$$x = \int_{a}^{b}\!f(x)\,$$d$$x = k\, (b-a) = 1.$$

Quindi:

$$f(x\,\vert\,{\cal K}(a,b)) = \frac{1}{b-a} \hspace{0.7cm}\left\{\! \begin{array}{l} a\le x \le b \\ a < b \end{array}\right.$$ (8.4)

Si noti come i parametri di ${\cal K}$ siano, diversamente da quanto avveniva nel caso di variabile discreta, fra parentesi invece che a pedice. Questo è semplicemente un modo convenzionale per indicare che la distribuzione è a variabili continue.

Essendo la funzione densità di probabilità costante, la funzione di ripartizione è lineare nell'intervallo $[a,b]$, come si verifica facilmente:

$$F(x\,\vert\,{\cal K}(a,b)) = \int_{-\infty}^{x}\!f(z)\, z = \frac{1}{b-a}\, \int_{a}^{x} z = \frac{x-a}{b-a}\, .$$

La figura 8.2 mostra la funzione di densità di probabilità e la funzione di ripartizione della distribuzione uniforme.

Figura: Distribuzione uniforme

Calcoliamo il valore valore atteso e la varianza di $X$ (previo il calcolo di E$(X^2)$):

$$\mu= (X) = \int_{a}^{b}\!\frac{x}{b-a}\, x = \frac{a+b}{2}$$

$$(X^2) = \int_{a}^{b}\!\frac{x^2}{b-a}\, x = \frac{1}{3}\, \frac{b^3-a^3}{b-a} = \frac{1}{3}\, (b^2+a\, b+a^2)\, .$$

Quindi:

$$\sigma^2= \frac{1}{3}\, (b^2+a\, b+a^2)-\frac{(a+b)^2}{4} =\frac{(b-a)^2}{12}\ ,$$

da cui:

$$\sigma =\frac{b-a}{\sqrt{12}}\, .$$ (8.5)

Come ci si poteva attendere, la previsione della variabile casuale coincide con il centro dell'intervallo. La deviazione standard è pari a circa il 30% dell'intervallo.

La distribuzione uniforme continua può essere pensata come il limite della distribuzione discreta (vedi paragrafo 6.6.2) quando il numero di punti tende a infinito e la spaziatura a zero. Si riottengono infatti gli stessi valori di media e deviazione standard.

La distribuzione uniforme viene impiegata nella trattazione degli errori di misura ogni qual volta si sa con sicurezza che una certa variabile è contenuta in un certo intervallo, ma non si ha alcun motivo per ritenere alcuni valori più plausibili di altri. Per queste applicazioni è conveniente chiamare la larghezza dell'intervallo $b-a = 2\,\Delta$, in quanto spesso si usa dire che la variabile può verificarsi uniformemente nell'intervallo $x_c\pm\Delta$, dove $x_c$ sta per il centro dell'intervallo. Ne segue che

$$\sigma = \frac{\Delta}{\sqrt{3}} = 0.58\,\Delta \approx 0.6\, \Delta\,.$$ (8.6)

Un altro uso della uniforme continua è nelle simulazioni al calcolatore. Infatti, mediante opportune tecniche è possibile, a partire da una variabile distribuita uniformemente, costruire altre variabili distribuite a piacere. Il prossimo paragrafo è da considerare come una breve e interessante parentesi su tale argomento.