Applicazioni alle simulazioni di variabili casuali

È interessante il caso in cui la funzione di trasformazione $g(X)$ abbia la stessa espressione della funzione di distribuzione $F(x)$, ovvero:

$$g(X) = F(X)\,.$$

(Si noti l'uso di maiuscole e minuscole per distinguere due funzioni matematematicamente uguali in questo caso, ma concettualmente diverse.) Facendo uso della 10.12, in quanto $F(x)$ è crescente, otteniamo:

$$f_y(y) = \frac{f_X(x)}{\frac{\mbox{d}F(x)}{\mbox{d}x}} = \frac{f_X(x)}{f_X(x)} = 1\,.$$ (10.14)

Quindi la trasformazione di variabile data da una funzione uguale alla funzione di ripartizione produce una variabile uniforme fra 0 e 1, per qualunque $f(x)$ di partenza. Questa osservazione può essere utilizzata come un modo alternativo per giustificare il metodo di simulazione di variabili casuali qualsiasi discusso nel paragrafo 8.3