Trasformazioni di una distribuzione uniforme

Il caso della distribuzione di partenza uniforme è interessante in quanto esso mostra chiaramente la distorsione delle funzioni densità di probabilità operate dal cambiamento di metrica. Questo si capisce meglio se si osserva attentamente la figura 10.2, in cui le diverse densità dei puntini danno un'idea della funzione densità di probabilità. È anche interessante confrontare quanto ottenuto con la discussione fatta a proposito delle trasformazioni uniformi variabili discrete (vedi anche tabella 10.1).

Figura: Esempi di trasformazione di variabile; A) $Y=0.5\,X+0.25$; B) $Y=\sqrt X$; C) $Y=X^2$; D) $Y=X^4$.

Le funzioni $g(X)$ utilizzate e la funzione densità di probabilità delle trasformate sono date in tabella 10.2. I calcoli vengono lasciati per esercizio.

Tabella: Funzioni densità di probabilità ottenute da diverse trasformazioni di una variabile distribuita uniformemente fra 0 e 1.

$f(x)$	$g(X)\rightarrow Y$	$g^{-1}(y)$	$f(y)$	dominio di $y$
1	$\frac{X}{2}+\frac{1}{4}$	$2\, y-\frac{1}{2}$	2	$0.25\le Y \le 0.75$
1	$\sqrt {X}$	$y^2$	$2y$	$0\le Y \le 1$
1	$X^2$	$\sqrt{y}$	$\frac{1}{2\sqrt{y}}$	$0\le Y \le 1$
1	$X^4$	$y^{1/4}$	$\frac{1}{4\,y^{3/4}}$	$0\le Y \le 1$

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