Trasformazione lineare di una variabile distribuita normalmente

Consideriamo il caso

$$\left\{\begin{array}{l} X\sim {\cal N}(\mu_X,\sigma_X) \\ Y = a\, X +b \end{array}\right.\,.$$

Facendo uso della 10.13 si ha:

$$f_Y(y) = \frac{f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)^2}{\vert a\vert}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\vert a\vert\sigma} \exp\left[-\frac{y-(a\mu_X+b))^2}{2\,a^2\,\sigma_X^2}\right]\,,$$ (10.15)

ovvero

$$\left\{\begin{array}{l} Y \sim {\cal N}(\mu_Y,\sigma_Y) \\ \mu_Y = a\,\mu_X+b \\ \sigma_Y = \vert a\vert\sigma_X \end{array}\right.\,.$$

Una trasformazione lineare di una normale dà ancora luogo ad una normale. Per quanto riguarda la trasformazione di valore atteso e deviazione standard, la legge di trasformazione segue una regola generale che non dipende dal tipo di distribuzione.