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Caso di funzioni non monotone

Se $ g(X)$ è una funzione che acquista lo stesso valore di $ y$ per più valori di $ x$ la procedura mostrata può essere utilizzata in ciascuno dei tratti in cui la funzione è monotona. Quindi si sommano i diversi termini che contribuiscono allo stesso $ y$. Mostriamo il modo di operare con un esempio particolare: il quadrato di una variabile distribuita normalmente.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} X \sim {\cal N}(0,1) \\ Y = X^2 \end{array}\right.$

Per definizione abbiamo
$\displaystyle F_Y(y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(Y \le y ) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$d$\displaystyle x$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^y\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac{1}{2}t}$d$\displaystyle t$  
$\displaystyle f(y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac{1}{2}y}\,.$  

Confrontando questo risultato con la (8.43) si riconosce nella $ Y$ una variabile di $ chi^2$ con un grado di libertà. Questa identificazione deriva da un proprietà più generale, secondo cui la somma dei quadrati di $ n$ variabili normali standardizzate indipendenti è descritta da una $ chi^2$ con $ \nu=n$.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02