Somma di due variabili distribuite uniformemente

L'analogo continuo della somma dei due dadi di figura 10.1 è dado dalla somma di due variabili indipendenti distribuite uniformemente, per semplicità nell'intervallo [0,a]. Sia $f_X(\cdot)$ che $f_Y(\cdot)$ valgono $1/a$. Applicando la (10.17) si ha:

$$f(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\, x$$

$$= \frac{1}{a}\int_{0}^{a}f_Y(z-x)\, x$$

$$= \frac{1}{a} \int_{z-a}^{z}f(u)\, u$$ (10.18)

$$= ( \ f(u)=f_Y(u)=\frac{1}{a}\ \ 0\le u\le a)\,,$$

avendo eseguito, nell'ultimo passaggio, la seguente trasformazione di variabili:

$$u = z-x$$

$$du = -dt$$

$$x=0 \rightarrow u=z$$

$$x=a \rightarrow u=z-a\,.$$

Facendo attenzione a come gli estremi di integrazione della (10.18) sono legati al dominio della $f_Y(\cdot)$, si ottiene finalmente:

$$f(z)= \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{a}\int_0^z\frac{1}{a}\,\mb... ... x\le a \\ \mbox{ }\\ a\le x\le 2\,a\\ \mbox{ }\\ \mbox{altrove}\end{array}$$ (10.19)

Figura: Costruzione delle distribuzioni di $X+Y$ e di $X-Y$ a partire da $X$ e $Y$ indipendenti e distribuite uniformemente fra 0 e 1.

Si riconosce una distribuzione triangolare (vedi paragrafo 8.4) centrata in $a$ e di semiampiezza $\Delta=a$. Per capire in modo intuitivo questo andamento si può confrontare questo risultato con quanto ottenuto nella somma di due dadi (vedi figura 10.1). Si veda anche la figura 10.3 che mostra, per una distribuzione uniforme fra 0 e 1 la distribuzione della somma e della differenza. Si vede che, a parte la posizione del centro, tale combinazione dà luogo alla stessa forma, quindi con uguale incertezza.