$Z=X+Y$, con $X$ e $Y$ poissoniane

Se $X\sim {\cal P}_{\lambda_1}$ e $Y\sim {\cal P}_{\lambda_2}$, segue

$$G_X(t) = e^{-\lambda_1}e^{\lambda_1 e^t}$$

$$G_Y(t) = e^{-\lambda_2}e^{\lambda_2 e^t}\,.$$

Ne segue che

$$G_{X+Y} = G_X(t)G_Y(t)$$

$$= e^{-\lambda_1-\lambda_2} e^{(\lambda_1+\lambda_2) e^t}$$

$$= e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}\,.$$ (10.23)

$G_{X+Y}$ ha quindi la forma della funzione generatrice di una distribuzione di Poisson, con $\lambda=\lambda_1+\lambda_2$. Siamo quindi arrivati alle stesse conclusioni della (10.10), ma in un modo molto più semplice.

Per curiosità consideriamo anche la trasformazione lineare $Y=aX+b$, sempre a partire da $Y$ poissoniana:

$$G_{aX+b} = e^{b\,t}G_X(at)$$

$$= e^{b\,t} e^{-\lambda}e^{\lambda e^{a\,t}}$$

$$= e^{b\,t-\lambda}e^{\lambda e^{a\,t}}\,.$$

Questa funzione non è assolutamente riconducibile alla funzioone generatrice di una poissoniana e quindi una trasformazione lineare di una poissoniana non dà una poissoniana.