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$ Z=aX+bY+c$, con $ X$ e $ Y$ gaussiane

. Consideriamo la semplice lineare di due variabili distribuite normalmente. L'estensione al casop generale è immediata. Siano quandi

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} X\sim {\cal N}(\mu_X,\sigma_X) \\ Y\sim {\cal N}(\mu_Y,\sigma_Y) \\ Z = aX+bY+c \end{array}\right. $

Indichiamo con $ V=aX+c$. Facendo uso delle tre proprietà del paragrafo 8.14 si ha
$\displaystyle G_Z(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp\left[(a\,\mu_X+c)t +b\mu_Y+ (a^2\,\sigma_X^2+ b^2\,\sigma_Y^2)\,t^2/2\right]\,,$  

nella quale si riconosce ancora una distribuzione normale di parametri

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \mu_Z = a\,\mu_X+b\,\mu_Y+c\\ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2+\sigma_Y^2\,. \end{array}\right. $


Giulio D'Agostini 2001-04-02