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Limite della media aritmetica

Prendiamo $ n$ variabili casuali $ X_i$ i cui valori sono descritti da una distribuzione di probabilità che sia la stessa per tutte le variabili. Si può pensare quindi ad un esperimento condotto $ n$ volte sotto le stesse condizioni. Tale distribuzione ha valore atteso $ \mu $ e deviazione standard $ \sigma $.

Interessiamoci alla media aritmetica

$\displaystyle \overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_iX_i$

effettuata sui valori di $ X_i$ che si verificheranno. Come abbiamo già visto, anche $ \overline{X}_n$ è una variabile casuale, in quanto funzione di variabili casuali. Abbiamo già visto che
$\displaystyle \mu_{\overline{X}_n} \equiv$   E$\displaystyle (\overline{X})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mu$  
$\displaystyle \sigma_{\overline{X}_n} = \sigma(\overline{X}_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$  

Per quanto detto nel paragrafo 7.10 ci aspettiamo che al crescere di $ n$ diminuisce la probabilità di trovare valori di $ \overline{X}_n$ ``molto distanti'' da $ \mu $. Ripetiamo il ragionamento, facendo uso della disuguaglianza di Cebicev, applicata alla variabile casuale $ \overline{X}_n$ (in realtà si può fare anche uso della forma esatta della distribuzione di probabilità di $ \overline{X}_n$, che vedremo fra breve parlando del teorema del limite centrale):

$\displaystyle P(\vert\overline{X}_n-\mu_{\overline{X}_n}\vert \ge k \sigma{\overline{X}_n}) \le \frac{1}{k^2}\,.$

Inserendo i valori di $ \mu_{\overline{X}_n}$ e $ \sigma{\overline{X}_n}$ si ottiene

$\displaystyle P(\vert\overline{X}-\mu\vert \geq k\, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \leq \frac{1}{k^2}\,.$ (10.50)

L'interpretazioone di questa disuguaglianza è che, data una certa $ \sigma $, fissato un certo livello di probabilità $ 1/k^2$ e un valore dello scarto $ \Delta $ piccoli a piacere, è sufficiente effettuare un numero di prove corrispondentemente grande affinche' la probabiltà di osservare uno scarto assoluto maggiore di $ \Delta $ sia inferiore al valore di probabilità prescelto.

Facciamo un esempio numerico: prendiamo $ \sigma=1$, il valore di probabilità dell'1% e uno scarto $ \Delta=10^{-3}$. Riformuliamo il problema: quante prove devo fare per essere sicuro al 99% che $ \overline{X}$ non differirà per più di $ 10^{-3}$ da $ \mu $? Dalla 10.50 abbiamo che

$\displaystyle k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{p}} = 10$  
$\displaystyle n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{k\,\sigma}{\Delta}\right)^2 = 10\times 10^6\,.$  

Se scegliamo $ \Delta=10^{-6}$ abbiamo bisogno di $ n= 10^{13}$ per avere lo stesso livello di sicurezza. Mantenendo $ \Delta=10^{-6}$, possiamo richiedere un livello di sicurezza del 99.99% che lo scarto sia contenuto entro $ \Delta $, ma allora avremo bisogno di $ n= 10^{15}$ prove. E così via. Quindi, quando il numero di prove è grandissimo siamo ``praticamente'' sicuri di trovare $ \overline{X}$ prossimo a $ \mu $. Possiamo esprimere il risultato dicendo che

``$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}$''$\displaystyle \overline{X} = \mu\,, $

dove le virgolette stanno a ricordare che tale concetto è ben diverso dal limite di funzioni. In particolare, esso non garantisce che, pur effettuando un numero di prove arbitrariamente grande, ci sia la certezza di trovare $ \overline{X}$ entro $ \Delta $ da $ \mu $ (anche se $ \Delta $ è relativamente grande, purché non superiore all'intervallo di definizione di $ X$).
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Giulio D'Agostini 2001-04-02