Teorema di Bernoulli

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Teorema di Bernoulli

Riprendiamo quanto detto nel paragrafo 7.13. Considerando

prove indipendenti, la previsione dellla frequenza relativa di successo, che per comodità chiamiamo

(uguale a

del paragrafo 7.13), abbiamo

E $\displaystyle (f_n)$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \frac{1}{n}$ E $\displaystyle (X\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{n\,p}{n} = p$	(10.51)
$\displaystyle \sigma(f_n)$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \frac{1}{n}\sigma((X\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{\sqrt{n\,p\,q}}{n} = \frac{\sqrt{p\,q}}{\sqrt{n}}$	(10.52)

Procedendo per analogia al caso precedente otteniamo:

$\displaystyle P(\vert f_n-$ E $\displaystyle (f_n)\vert \ge k\, \sigma(f_n))$	$\displaystyle \le$	$\displaystyle \frac{1}{k^2}$
$\displaystyle P(\vert f_n-p\vert\ge k\, \frac{\sqrt{p\,q}}{\sqrt{n}})$	$\displaystyle \le$	$\displaystyle \frac{1}{k^2}$	(10.53)

L'interpretazione di questa disuguaglianza, nota come teorema di Bernoulli, è analoga a quanto visto per $\overline{X}_n$ :

al crescere di diventa sempre meno probabile osservare valori di frequenze relative che differiscono molto da .

Essendo questo uno dei teoremi più intriganti del calcolo delle probabilità, merita una serie di osservazioni.

La formulazione va intesa in termini di probabilità e non di certezza.
Il teorema non implica assolutamente che, se per un certo lo scarto $\vert f_n-p\vert$ è grande, allora per la frequanza relativa ``debba recuperare'' per ``mettersi in regola con la legge''. (Nel seguito mostreremo, come esercizio, la fallacia dell'interpretazione della legge dei grandi numeri per aspettarsi che i numeri ritardatari al lotto recuperino.)
Esso non giustifica la ``definizione'' frequentista di probabilità. Affermando infatti che ``è molto probabile che la frequenza non differisca molto dalla probabilità'' si sta assumendo il concetto di probabilità. Inoltre:
- Non si dimentichi che il teorema di Bernoulli ...è un teorema, basato sulle regole di base dalla probabilità e su tutte le proprietà che ne derivano. Quindi non può definire il concetto di probabilità.
- Su tale argomento è molto convincente de Finetti
  ``Per quanti tendono a ricollegare il concetto stesso di probabilità alla nozione di frequenza, tali risultati [che ``tenda a ''] vengono ad assumere un ruolo di cerniera per convalidare tale avvicinamento o identificazione di nozioni. Logicamente non si sfugge però al dilemma che la stessa cosa non si può assumere prima per definizione e poi dimostrare come teorema, né alla contraddizione di una definizione che assumerebbe una cosa certa mentre il teorema afferma che è soltanto molto probabile.
- Si noti inoltre che la condizione di costante implica che essa sia prefissata a priori e che anche le valutazioni sui possibili esiti di siano fatte prima di iniziare le prove (o in condizione di incertezza sul loro esito).
- Ciò nonostante, vedremo come la frequenza relativa di prove effettuate possa essere utilizzata per valutare , ma questo è un problema inferenziale che c'entra poco con il teorema di Bernoulli (il quale ha a che vedere, per dirla alla buona, soltanto con ``affermazioni probabilistiche su frequenza relative future, o comunque ignote'').

Facciamo degli esempi pratici

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Giulio D'Agostini 2001-04-02