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Teorema di Bernoulli

Riprendiamo quanto detto nel paragrafo 7.13. Considerando $ n$ prove indipendenti, la previsione dellla frequenza relativa di successo, che per comodità chiamiamo $ f_n$ (uguale a $ W$ del paragrafo 7.13), abbiamo
E$\displaystyle (f_n)$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{n}$E$\displaystyle (X\,\vert\,{\cal B}_{n,p})
= \frac{n\,p}{n} = p$ (10.51)
$\displaystyle \sigma(f_n)$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{n}\sigma((X\,\vert\,{\cal B}_{n,p})
= \frac{\sqrt{n\,p\,q}}{n} = \frac{\sqrt{p\,q}}{\sqrt{n}}$ (10.52)

Procedendo per analogia al caso precedente otteniamo:
$\displaystyle P(\vert f_n-$E$\displaystyle (f_n)\vert \ge k\, \sigma(f_n))$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{1}{k^2}$  
$\displaystyle P(\vert f_n-p\vert\ge k\, \frac{\sqrt{p\,q}}{\sqrt{n}})$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{1}{k^2}$ (10.53)

L'interpretazione di questa disuguaglianza, nota come teorema di Bernoulli, è analoga a quanto visto per $ \overline{X}_n$:
al crescere di $ n$ diventa sempre meno probabile osservare valori di frequenze relative che differiscono molto da $ p$.
Essendo questo uno dei teoremi più intriganti del calcolo delle probabilità, merita una serie di osservazioni. Facciamo degli esempi pratici

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Giulio D'Agostini 2001-04-02