Sul recupero dei numeri ritardatari

Assumiamo ora di avere un meccanismo di estrazione talmente simmetrico da non avere nessun dubbio sulla probabilità di ciascuna estrazione (ad esempio la ruota del lotto). Sia $p$ tale probabilità (ad esempio 1/90 per il primo estratto su una ruota). Immaginiamo di interessarci ad $N$ estrazioni e che dopo $N_1$ estrazioni ($N_1<N$) la frequenza relativa sia diversa da $p$ (come in genere accade...):

$$f_{N_1} \ne p\,.$$

Cosa ci aspettiamo sul totale delle $N$ estrazioni da eseguire?

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ci sarà un meccanismo di compensazione tale che $f_N\approx p$?

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Quanto vale il valore atteso della frequenza relativa nelle restanti $N_2=N-N_1$ estrazioni e sul totale delle $N$ estrazioni?

Queste sono le considerazioni probabilisticamente corrette all'istante $t_\circ$ prima di iniziare le estrazioni e all'istante $t_1$ dopo che sono noti i risultati delle prime $N_1$ estrazioni:

a) $t_\circ$:

siamo in stato di incertezza su ciascuno degli esiti. Ne segue che

$$(f_{N_1}) = (f_{N_2}) = (f_{N}) = p\,.$$ (10.54)

$$\sigma(f_{N_1}) = \frac{\sqrt{p\,(1-p)}}{\sqrt{N_1}}$$ (10.55)

$$\sigma(f_{N_2}) = \frac{\sqrt{p\,(1-p)}}{\sqrt{N_2}}$$ (10.56)

$$\sigma(f_{N}) = \frac{\sqrt{p\,(1-p)}}{\sqrt{N}}$$ (10.57)

B) $t_1$:

il risultato $f_{N_1}$ è acquisito (certo!). Esso corrisponde a $X_1=N_1\, f_{N_1}$ successi. Quindi:

$$(f_{N_1}) = f_{N_1}$$

$$(f_{N_2}) = p \sigma(f_{N_2})=\frac{\sqrt{p\,(1-p)}}{\sqrt{N_2}}$$

$$(f_{N}) = \frac{N_1\, f_{N_1} + N_2\,p} {N_1+N_2} \ne p\ ( )$$

$$\sigma(f_N) = \frac{\sqrt{N_2p\,(1-p)}}{N_1+N_2} = \sqrt{\frac{N-N_1}{N}}\sqrt{p\,(1-p)}\,.$$

La previsione della frequenza è la media pesata fra $p$ e la frequenza nei primi $N_1$ eventi. L'incertezza di previsione è massima all'inizio (per $N_1=0$) e va a zero per $N_1\rightarrow N$, in quanto rimane poco su cui essere incerti.

Lasciando al lettore tutte le conclusioni legate ai numeri ritardatari e le raccomandazioni ai perdendi che ``contano'' di rifarsi nelle partite successive, concludiamo con delle raccomandazioni. I ragionamenti probabilistici vanno effettuati quando si è in condizioni di incertezza. Si possono usare (vanno usate!) le informazioni sulle frequenze osservate per valutare le probabilità di altri eventi ignoti nei modi che saranno visti quando affronteremo in modo sistematico il problema dell'inferenza statistica. Utilizzare argomentazioni probabilistiche su eventi noti non ha alcun senso. Utilizzare poi tali argomentazioni allo stesso tempo sia su eventi incerti che su eventi certi conduce ad una grossa confusione, una di questa è l'interpretazione distorta del teorema di Bernoulli.