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pzd100Caso di forte vincolo dato dalla prior

Anche se, per evitare ogni pedanteria, è stato suggerito che, per i casi di routine, una prior uniforme è più che ragionevole, un ricercatore esperto ha sempre delle prior in mente, e con esse valuta il risultato. Lo può accettare tranquillamente, diffidando quasi sempre delle code di probabilità perché è ben cosciente dei modelli matematici che usa; oppure si può insospettire e controllare meglio lo strumento; oppure può decidere di ripetere le misure, e così via. Ad esempio, se si guarda al volo verso ora di pranzo un orologio che non si sa essere rotto e si legge 12:27 si prende per buona tale osservazione (immagino che questa o analoghe esperienze sia capitata a molti), mentre se avesse indicato 17:43 la si sarebbe rifiutata. Lo stesso vale per voltmetri rotti, termometro starati e così via. Lo sperimentatore esperto ha sempre delle prior che, pur nella loro vaghezza, sono molto solide e filtrano le piccole disavventure che capitano in laboratorio. Uno strumento rotto, un procedimento di misura sbagliato o un errore di calcolo possono produrre effetti drammatici nel risultato. Lo sperimentatore che ha buone prior, sviluppate con anni di ricerca può sbagliare del 30%, del 50% o addirittura di un fattore due, ma raramente di fattori 10, 100 o 1000.

Purtroppo questo discorso esula da questa trattazione e niente può sostituire l'esperienza diretta. Vogliamo mostrare qui soltanto un caso, molto schematizzato, di come comportarsi quando il risultato ottenuto da una rapida applicazione delle formule precedenti cozza violentemente con le proprie convinzioni.

Immaginiamo un esperimento progettato per misurare la massa del neutrino (di tipo elettronico). Assumiamo che, la conoscenza dettagliata dell'esperimento induca gli sperimentatori a credere che le possibili osservazioni `equivalenti' (nel senso specificato sopra, ovvero il numero al quale si arriva avendo elaborato opportunamente la massa di dati) siano descritte da una gaussiana centrata intorno alla massa vera, con deviazione standard 3.3 eV/c (per avere un'idea dell'ordine di grandezza, in questa unità di misura la massa dell'elettrone è 511 mila, quella del protone 938 milioni). Alla fine dell'esperimento si ottiene $x=-5.41\,$ eV/c. Cosa dobbiamo concluderne? Che il neutrino abbia, con probabilità del 95% una massa negativa? Oppure che l'esperimento sia ``sbagliato''? Se prima di questo esperimento i fisici erano convinti che la massa del neutrino può essere al più qualche decine di eV/c, come viene modificata la loro conoscenza? (Si noti che sotto l'ipotesi ``esperimento sbagliato'' non si impara niente).

In questo caso, la prior forte è che la massa debba essere non negativa. Inoltre si è praticamente convinti che essa non può essere troppo grande (altrimenti avrebbe dato effetti in altre osservazioni precedenti). Con queste considerazioni, tenendo conto che l'esperimento è stato proposto, finanziato e costruito con lo scopo di vedere qualcosa, si può modellizzare l'incertezza in diversi modi (vedi figura 11.4):

**Figura:** Esempio di inferenza in prossimità del limite fisico di una grandezza (massa del neutrino in unità di eV/c) con tre diverse prior `motivate' e due diverse osservazioni. Si noti come, nel caso dell'osservazione negativa () le tre distribuzioni finali sono praticamente coincidenti.
$\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/negnumass.eps,clip=,width=\linewidth}\end{figure}$

Una distribuzione uniforme fra 0 e 30 eV/c:

$\displaystyle f_{\circ K}(m)=k=1/30\hspace{1.0cm} (0\le m \le 30)\,;$ (11.22)
una mezza gaussiana centrata su zero con deviazione standard $\sigma_\circ=10\,$ eV/c:

$\displaystyle f_{\circ N}(m) =\frac{2}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_\circ} \,\exp{\left[-\frac{m^2}{2\,\sigma_\circ^2}\right]} \hspace{1.0cm} (m \ge 0)\,;$ (11.23)
una distribuzione triangolare

$\displaystyle f_{\circ T}(m) = \frac{1}{450}\,(30-m) \hspace{.6cm} (0\le m \le 30)\,.$ (11.24)

La ``mezza-gaussiana'' ha il vantaggio di ammettere anche valori di massa molto grandi, seppur molto poco plausibili. Consideriamo per semplicità la distribuzione uniforme. Inserendola nella formula di Bayes otteniamo

$\displaystyle f(m\,\vert\,x, f_{\circ K})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{ \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma} \,\exp{\left[-\frac{(x-m)^... ...\pi}\,\sigma} \,\exp{\left[-\frac{(x-m)^2}{2\,\sigma^2}\right]} \,k\, \rm {d}m}$	(11.25)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{19.8}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[-\frac{(m-x)^2}{2\,\sigma^2}\right]} \hspace{0.7 cm}(0 \le m \le 30)\,.$	(11.26)

Come conclusione dell'esperimento, il valore al quale crediamo di più è zero (moda), ma

è diversa da zero fino a 30 eV/c

. In questi casi è conveniente dare il risultato come limite superiore ad un certo livello di probabilità. Facendo i conti otteniamo:

$\displaystyle m < 3.9\,$ eV $\displaystyle /c^2$ al $\displaystyle 0.95\,\%\$ di probabilità $\displaystyle \,.$

(11.27)

Se avessimo usato le altre prior avremmo avuto

$\displaystyle m < 3.7\,$ eV $\displaystyle /c^2$ al $\displaystyle 0.95\,\%\$ di probabilità $\displaystyle \,,$

(11.28)

praticamente lo stesso valore (soprattutto se confrontato con la risoluzione sperimentale di $3.3\,$ eV

Ben diverso è il caso in cui si osserva un valore positivo ben distanziato dallo zero, esemplificato in figura 11.4 dal punto $ x=10$ . Sebbene l'inferenza dipende leggermente dalla prior (ma in modo irrrilevante dal punto di vista pratico) si vede che anche la banale inversione intuitiva di probabilità dà un risultato soddisfacente.

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Giulio D'Agostini 2001-04-02