Ordinamenti, occupazioni ed estrazioni

Gli esempi con i quali sono stati introdotti i concetti di $r$-disposizioni (con ripetizioni o non) e delle combinazioni erano legati ai possibili ``ordinamenti'' - per utilizzare un termine generico che comprenda disposizioni, permutazioni e combinazioni.

È interessante notare come si possa arrivare agli stessi concetti combinatori partendo da altri punti di vista: quello dei numeri di occupazione di oggetti in scatole e quello del numero di estrazioni.

$r$-disposizioni di $n$ oggetti.

A seconda dei problemi si può pensare a

• disposizioni di $n$ oggetti a gruppi di $r$ con ripetizioni (secondo l'esempio delle $n$ lettere dell'alfabeto per formare parole di $r$ lettere);
• modi di collocare $r$ palline numerate in $n$ scatole diverse, permettendo a più palline di occupare la stessa scatola;
• estrazioni ordinate e con reintroduzione di $r$ palline da un'urna che contiene $n$ palline distinte.

Sebbene tutti e tre i casi si riconducano alla stessa formula ($n^r$) in un caso $n$ indica gli ``oggetti'' (lettere) e $r$ le caselle (posizioni all'interno della parola); nel secondo gli ``oggetti'' sono le $r$ palline e $n$ stanno per le posizioni ove tali oggetti vanno collocati; nel terzo, infine, $n$ sono gli ``oggetti'' nell'urna e $r$ sono quelli estratti e poi rimessi dentro.

Un modo di avvicinare i primi due punti di vista è di pensare agli $r$ indicatori di un display che possono ``andare'' in $n$ stati diversi. (L'ambiguità che crea una certa difficoltà psicologica ha origine nella possibilità di immaginare sia le lettere ``andare'' (apparire) nelle posizioni dell'indicatore, che gli indicatori ``andare'' (commutare) nei diversi stati possibili.

Figura: Due diversi punti di vista del calcolo combinatorio: ordinamenti e occupazione.

Figura: Esempio di $r$-disposizioni con ripetizioni di $n$ oggetti, con $r=2$ e $n=3$ (già mostrato in figura 3.1) visto sia in termini di ordinamenti che di occupazioni.

La figura 3.4 mostra i due punti di vista per $r=3$ e $n=10$. Un esempio più dettagliato, con $n=3$ e $r=2$ è mostrato in figura 3.5.

$r$-disposizioni semplici.

Analogalmente al caso precedente si può pensare a

• disposizioni di $n$ oggetti a gruppi di $r$, con la condizione che ogni oggetto sia considerato al più una volta;
• modi di collocare $r$ palline numerate in $n$ scatole diverse, con la condizione che ogni scatola contenga al più una pallina;
• estrazioni ordinate senza reintroduzione di $r$ palline da un'urna che contiene $n$ palline distinte.

Combinazioni.

Anche in questo caso possiamo avere:

• disposizioni di $n$ oggetti a gruppi di $r$, con la condizione che ogni oggetto sia considerato al più una volta;
• modi di collocare $r$ palline indistinguibili in $n$ scatole diverse, con la condizione che ogni scatola contenga al più una pallina; le diverse configurazioni sono distinte soltanto dallo stato di occupazione della scatola;
• estrazioni senza reintroduzione di $r$ palline da un'urna che contiene $n$ palline distinte.