Probabilità della somma logica di due eventi incompatibili

Se consideriamo un qualsiasi evento e il suo opposto, non ha molto senso scommettere sul fatto che si verifichi uno qualsiasi dei due, in quanto l'occorrenza di uno oppure dell'altro forma la certezza. Se questi casi sono contemplati è solo come caso limite.

Prendiamo ora due eventi $E_1$ e $E_2$ fra loro incompatibili (cioè che non possono essere entrambi veri) anche se non necessariamente opposti.

Prima di proseguire introduciamo una notazione sintetica che indichi l'evento composto ``si verifica $E_1$ o si verifica $E_2$''. La congiunzione ``o'' non va intesa nel senso di "aut ...aut'', bensì in quello di ``sia che si verifichi $E_1$ sia che si verifichi $E_2$''. Questa operazione logica è chiamata somma logica, anche nota come ``OR'':

somma logica (OR) di $E_1$ e $E_2$:$$\ \ \ E_1\cup E_2\,.$$

Cerchiamo di valutare la probabilità di $E_1\cup E_2$ sapendo che a $E_1$ e $E_2$ sono state assegnate probabilità $P(E_1)$ e $P(E_2)$. Ragioniamo con la logica della scommessa coerente per vincere un importo unitario (vedi paragrafo 2.10)

Le due scommesse separate su $E_1$ e $E_2$ equivalgono ad una sola scommessa con puntata $P(E_1)+P(E_2)$ sull'evento $E_1\cup E_2$. Infatti:

-

se non si verifica né $E_1$ né $E_2$, e quindi non si verifica $E_1\cup E_2$, si perde $P(E_1)+P(E_2)$;

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se si verifica uno qualsiasi dei due si vince 1;

-

non si possono verificare simultaneamente entrambi (con eventuale vittoria doppia) in quanto essi sono incompatibili.

Ne segue che

$$P(E_1\cup E_2) = P(E_1)+P(E_2)\ \ \ \ ( \ E_1\ \ E_2\ \,.$$ (4.1)

Questa è la terza proprietà fondamentale della probabilità, dopo quella che limita $P(E)$ fra 0 e 1 e quella che afferma che la probabilità dell'evento certo è uguale a 1.