Distribuzione uniforme discreta

La più semplice distribuzione di interesse generale è quella in cui si assegna lo stesso grado di fiducia a tutte le possibili realizzazioni di $X$. Essa è chiamata distribuzione uniforme (discreta). Prendiamo per semplicità una variabile casuale che può assumere con uguale probabilità i primi $n$ interi positivi. Otteniamo la funzione

$$f(x\,\vert\,{\cal K}_{1,n}) = \frac{1}{n}\hspace{1.0 cm} x=1, 2, \ldots, n\,.$$ (6.12)

Introduciamo la notazione $f(x\,\vert\,\cdot)$ per indicare che la funzione di probabilità è condizionata da una certa distribuzione. Qui ${\cal K}$ sta per ``costante'' e ``$1,n$'' sono i parametri della distribuzione. In genere, per indicare sinteticamente che una variabile segue una certa distribuzione di probabilità, useremo il simbolo ``$\sim$''. Ad esempio, in questo caso:

$$X\sim {\cal K}_{1,n} \Longleftrightarrow f(x\,\vert\,{\cal K}_{1,n}) \,.$$

Valori diversi da 1, 2, ..., $n$ sono impossili ed è quindi pari a zero la funzione di probabilità in corrispondenza di essi. A volte, soprattutto in trattazioni di impostazione più matematico, questo viene esplicitato nella definizione, scrivendo, ad esempio:

$$f(x\,\vert\,{\cal K}_{1,n}) = \left\{\!\begin{array}{l} \frac{1}{n} \\ \mbox{\ } \\ 0\end{... ...n \\ \mbox{\ } \\ \mbox{altrimenti\hspace{0.8cm}.} \end{array}$$

La funzione di ripartizione è ``a gradini equidistanziati'' e, per $x$ interi compresi fra 1 e $n$, assume i valori

$$F(x\,\vert\,{\cal K}_{1,n}) = \frac{x}{n}\,,$$ (6.13)

mentre di altri valori sono ottenuti dalla definizione di $F(x)$.

La figura 6.4 mostra la rappresentazione a diagramma a barre di questo tipo di distribuzione, per $n=6$. I simboli $\mu$ e $\sigma$ stanno ad indicare grandezze atte a misurare in modo convenzionale (``standard'') la posizione e la larghezza della distribuzione e saranno descritte a partire dal paragrafo 6.8.

Figura: Distribuzione uniforme discreta ottenuta associando dalla variabile casuale $X$ = ``esito del lancio di un dado''. Il significato di $\mu$ e $\sigma$ sarà illustrato nel seguito.

Esempi banali di questa distribuzione sono le variabili associate alle faccie di un dado (figura 6.4) o ai numeri della tombola. Un esempio più vicino alla problematica della misura è quello della prima cifra decimale che verrà indicata da un termometro digitale se si misura un fluido ``a temperatura ambiente''.