Supponiamo di lanciare un dado e di essere interessati all'uscita di un certo valore, per esempio il ``4''. Definiamo successo ogni esito del lancio in cui si verifica il numero ``4''. Pensiamo di dover eseguire un certo numero di lanci ed esaminiamo la variabile ``numero di successi'' ( ). Vediamo quanto vale la probabilità della variabile casuale all'aumentare del numero dei lanci ( sta per successo e sta per insuccesso):
da cui
e
. È immediato provare
che
.
Notiamo l'analogia con lo sviluppo del binomio di Newton. Infatti chiamando la probabilità di un successo nel singolo lancio ( nel nostro esempio) e la probabilità di un insuccesso, le corrispondono ai termini dello sviluppo di . Questo è dovuto al fatto che l'evento successi e insuccessi si può presentare in tanti modi diversi, ed esattamente quante sono le possibilità di costituire, partendo da elementi, dei gruppetti di elementi ciacuno, indipendentemente dall'ordine con cui gli elementi sono scelti. In termini matematici esse sono le combinazioni di elementi presi `` a ''. La probabilità di ciascuno dei modi è pari a . Quindi, in generale, possiamo scrivere questa distribuzione di probabilità, chiamata binomiale, come:
Resta da calcolar quanto vale il coefficiente binomiale
Permutazioni: il numero totale dei possibili modi di disporre (``ordinare'',``mettere in fila'') oggetti si calcola considerando che ci sono possibilità per il primo, per il secondo, per il terzo e così via. Cioè il numero di permutazioni di oggetti è pari a .
Combinazioni: supponiamo ora di dover scegliere un elementi da un insieme che ne contiene un numero senza curarsi dell'ordine con cui essi sono scelti. Ad esempio in una classe di 25 persone si vogliono formare delle squadre di pallavolo da 6 persone. Quante squadre diverse si possono fare? Abbiamo 25 modi per scegliere la prima persona, 24 per la seconda e così via, cioè . Così facendo abbiamo contato volte ( ovvero il numero di permutazioni di 6 elementi) ogni squadra composta dagli stessi giocatori ma estratti in modi diversi. Quindi, in generale, bisogna divedere l'espressione precedentemente trovata per , ottenendo