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$ {\bf\circlearrowright }$ Distribuzione binomiale - da capo

Reintroduciamo la distribuzione binomiale in modo alternativo, ad uso di chi è poco disinvolto con il calcolo combinatorio, o per coloro che abbiano saltato il capitolo 3

Supponiamo di lanciare un dado e di essere interessati all'uscita di un certo valore, per esempio il ``4''. Definiamo successo ogni esito del lancio in cui si verifica il numero ``4''. Pensiamo di dover eseguire un certo numero $ n$ di lanci ed esaminiamo la variabile $ X$ ``numero di successi'' ( $ 0\leq X\leq n$). Vediamo quanto vale la probabilità della variabile casuale $ X$ all'aumentare del numero dei lanci ($ S$ sta per successo e $ N$ sta per insuccesso):



n = 1 $ e_i$ $ P(e_i)$ $ X$
  $ S$ 1/6 1
  $ N$ 5/6 0
     


da cui $ f(0)=P(X=0)=\frac{5}{6}$ e $ f(1)=P(X=1)=\frac{1}{6}$. È immediato provare che $ f(0)+f(1)= 1$.


n = 2 $ e_i$ $ P(e_i)$ $ X$
  $ SS$ $ (1/6)^2$ 2
  $ SN$ $ (1/6)\times (5/6)$ 1
  $ NS$ $ (5/6)\times (1/6)$ 1
  $ NN$ $ (5/6)^2$ 0
     



da cui $ f(0) = (\frac{5}{6})^2$, $ f(1)=2\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}$ e $ f(2)=(\frac{1}{6})^2$ e chiaramente anche in questo caso $ \sum_i f(x_i)=1$.


n = 3 $ e_i$ $ P(e_i)$ $ X$
  $ SSS$ $ (1/6)^3$ 3
  $ SSN$ $ (1/6)^2\times (5/6)$ 2
  $ SNS$ $ (1/6)^2\times (5/6)$ 2
  $ SNN$ $ (1/6)\times (5/6)^2$ 1
  $ NSS$ $ (1/6)^2\times (5/6)$ 2
  $ NSN$ $ (1/6)\times (5/6)^2$ 1
  $ NNS$ $ (1/6)\times (5/6)^2$ 1
  $ NNN$ $ (5/6)^3$ 0
     


Otteniamo quindi per la variabile $ X$:


$ x$ $ f(x)$
0 $ (5/6)^3$
1 $ 3\times (1/6)\times (5/6)^2$
2 $ 3\times (1/6)^2\times (5/6)$
3 $ (1/6)^3$
 


Notiamo l'analogia con lo sviluppo del binomio di Newton. Infatti chiamando $ p$ la probabilità di un successo nel singolo lancio ( $ p=\frac{1}{6}$ nel nostro esempio) e $ q=1-p$ la probabilità di un insuccesso, le $ f(x_i)$ corrispondono ai termini dello sviluppo di $ (p+q)^n$. Questo è dovuto al fatto che l'evento $ x$ successi e $ (n-x)$ insuccessi si può presentare in tanti modi diversi, ed esattamente quante sono le possibilità di costituire, partendo da $ n$ elementi, dei gruppetti di $ x$ elementi ciacuno, indipendentemente dall'ordine con cui gli $ x$ elementi sono scelti. In termini matematici esse sono le combinazioni di $ n$ elementi presi ``$ x$ a $ x$''. La probabilità di ciascuno dei modi è pari a $ p^xq^{n-x}$. Quindi, in generale, possiamo scrivere questa distribuzione di probabilità, chiamata binomiale, come:

$\displaystyle f(x\vert{\cal B}_{n,p}) = \binom{n}{x} \, p^x\, q^{n-x}\,.$ (7.5)

Resta da calcolar quanto vale il coefficiente binomiale

$\displaystyle \binom{n}{x} \,.$

Ricordiamo qui brevemente i concetti di permutazioni e combinazioni:

Permutazioni: il numero totale dei possibili modi di disporre (``ordinare'',``mettere in fila'') $ n$ oggetti si calcola considerando che ci sono $ n$ possibilità per il primo, $ n-1$ per il secondo, $ n-2$ per il terzo e così via. Cioè il numero di permutazioni di $ n$ oggetti è pari a $ n!$.

Combinazioni: supponiamo ora di dover scegliere un $ x$ elementi da un insieme che ne contiene un numero $ n$ senza curarsi dell'ordine con cui essi sono scelti. Ad esempio in una classe di 25 persone si vogliono formare delle squadre di pallavolo da 6 persone. Quante squadre diverse si possono fare? Abbiamo 25 modi per scegliere la prima persona, 24 per la seconda e così via, cioè $ 25\times 24\times \cdots \times \cdot(25-6+1)$. Così facendo abbiamo contato $ 6!=720$ volte ( ovvero il numero di permutazioni di 6 elementi) ogni squadra composta dagli stessi giocatori ma estratti in modi diversi. Quindi, in generale, bisogna divedere l'espressione precedentemente trovata per $ x!$, ottenendo

$\displaystyle \frac{n\, (n-1)\,\cdots \, (n-x+1)}
{x!}$

. Moltiplicando numeratore e denominatore per $ (n-x)!$ otteniamo:

$\displaystyle \binom{n}{x} =
\frac{n!}{(n-x)!\,x!}\,, $

e quindi

$\displaystyle f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x\, q^{n-...
... 2, \ldots, \infty \\  0 \le p \le 1 \\  x = 0, 1, \ldots, n \end{array}\right.$ (7.6)


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Giulio D'Agostini 2001-04-02