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Valore atteso e deviazione standard

È abbastanza naturale pensare che se si lancia 1000 volte una moneta ci si aspetta un numero di teste intorno a 500. Nello stesso modo è ovvio aspettarsi che se si lancia un dado 20 volte si prevede che una certa faccia uscirà circa un sesto del numero di lanci, anche se chiaramente non potrà verificarsi $ 3.33$ volte. Verifichiamo come la definizione operativa di valore atteso sia in accordo con tale previsione intuitiva:
E$\displaystyle (X\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{x=0}^n x\, f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{x=0}^n x\, \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x q^{n-x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{x=1}^n x\, \frac{n!}{(n-x)!\,x!} \,
p^x\, q^{n-x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p \sum _{x=1}^n \frac{(n-1)!}{(n-x)!\,(x-1)!} p^{x-1} q^{n-x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p \sum _{y=0}^{n-1}
\frac{(n-1)!}{(n-1-y)!\,y!} p^{y} q^{n-1-y}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p\, (p+q)^{n-1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\,p\,$  

avendo chiamato, per comodità $ y=x-1$ e utilizzando le proprietà dei coefficienti binomiali (vedi paragrafo 3.2.6).

Per calcolare la varianza della distribuzione binomiale è conveniente, come al solito, partire dal valore atteso di $ X^2$:

E$\displaystyle (X^2\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{x=0}^n x^2\, f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{x=0}^n x^2 \, \frac{n!}{(n-x)!\,x!}
\, p^x\, q^{n-x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p \sum _{x=1}^n \frac{x\,(n-1)!}{(n-x)!\,(x-1)!} p^{x-1} q^{n-x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p \sum _{y=0}^{n-1}
\frac{(1+y)\,(n-1)!}{(n-1-y)!\,y!} p^{y} q^{n-1-y}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p\,(1+(n-1)\,p)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p+n\, (n-1)\, p^2.$  

Da cui:
$\displaystyle \sigma^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle p\,(1-p)\,n = p\, q\, n$  
$\displaystyle \sigma$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{p\, (1-p)\, n}=\sqrt{p\, q\, n}$  

Nella seguente tabella riportiamo nel caso di lanci di una moneta i valori attesi e la varianza del numero di teste.



$ n$ $ \mu $ $ \sigma $ $ \sigma /\mu$ $ P(n/2)$
10 5 1.6 0.32 0.24
100 50 5.0 0.10 0.08
1000 500 16 0.032 0.025
10000 5000 50 0.010 0.010
1000000 500000 500 0.001 ***


Si può osservare come al crescere di $ n$ ci attendiamo sempre una maggiore dispersione di valori della variabile casuale intorno al valore atteso7.1. In particolare, si noti come al crescere di $ n$ il valore atteso diventi sempre meno probabile. Diminuisce invece la dispersione relativa, essendo il coefficiente di variazione pari a

$\displaystyle v = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{\sqrt{n\, p\, q}}{n\, p} \propto \frac{1}{\sqrt{n}}\, .$ (7.7)

Riassumendo, otteniamo che la previsione dei valori della variabile è uguale ad una frazione $ p$ del numero di prove da effettuare, con una incertezza relativa di previsione inversamente proporzionale alla radice quadrata del numero di prove.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02