Per simmetria, il valore atteso della posizione
dopo ogni passo è pari a zero (punto iniziale).
Siamo quindi interessati a calcolare
la sola varianza.
Notiamo che se chiamiamo con la variabile casuale
``spostamento in avanti'', con il ``numero di teste'' e con
il ``numero di croci'', abbiamo che
Ma poiché , abbiamo
(7.24) | |||
E | E | (7.25) | |
Var | Var | (7.26) | |
(7.27) |
(7.28) |
(7.29) |
La marcia a caso serve anche a descrivere un classico problema dei giochi d'azzardo, quello della rovina del giocatore. Per risolverlo si valuta la probabilità che un giocatore, iniziando a giocare con una certa somma iniziale , si trovi senza soldi ad un certo punto del gioco e quindi non possa più tentare la fortuna per rifarsi. In termini di marcia casuale è equivalente è equivalente a cominciare a passi da un burrone. Per risolvere il problema, si parte dalle formule che abbiamo appena visto e si calcola la funzione di probabilità della variabile casuale ``arriva in allo spostamento '' (arrivare a partendo da zero, è equivalente ad arrivare a zero partendo da ).
Random walk, moto browniano ..