Distribuzione normale standardizzata

Essendo la distribuzione normale largamente utilizzata e non avendo il suo integrale indefinito una forma analitica, per il calcolo delle probabilità vengono usati valori tabulati. Si capisce bene che sarebbe impossibile avere tabelle per tutte le possibili coppie di valori dei parametri. È quindi conveniente rendere il calcolo della funzione di ripartizione $F(x)$ indipendente dai parametri. Eseguendo la seguente trasformazione di variabili:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\, ,$$

otteniamo quindi che la probabilità che la variabile sia compresa fra $a$ e $b$ vale

$$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x^\prime-\mu)^2}{2\sigma^2}} x^\prime$$

$$= \int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} z$$

$$= \int_{z_a}^{z_b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} z$$

$$= P(z_a\le Z\le z_b)$$

$$= P(\frac{a-\mu}{\sigma}\leq Z\leq\frac{b-\mu}{\sigma})$$

La variabile $Z$ è chiamata variabile normale standardizzata e la funzione di probabilità

$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$$ (8.17)

è detta distribuzione normale standardizzata. La variabile $Z$ corrisponde ad una ``trasformazione di coordinate lungo l'asse X tale da misurare la variabile in unità di $\sigma$ a partire dal punto $X=\mu$'' (vedi figura 8.9). Come si vede facilmente, la distribuzione normale standardizzata è una particolare normale di valor medio nullo e varianza unitaria:

$$Z \sim {\cal N}(0,1)$$ (8.18)