next up previous contents
Next: Distribuzione normale standardizzata Up: Distribuzioni di probabilità di Previous: pzd100Distribuzione esponenziale doppia   Indice


Distribuzione normale

Una distribuzione, in principio simile alla esponenziale doppia per quanto riguarda la simmetria rispetto al valore centrale e l'estensione a grandissimi scarti, ma che meglio si presta a descrivere moltissimi casi di interesse è quella in cui i gradi di fiducia vanno come

$\displaystyle f(x)\propto e^{-h\, (x-x_m)^2}\,,$

ove $ h$ è una costante positiva. Questa funzione, opportunamente normalizzata, è nota come funzione di Gauss, o gaussiana. Essa deve il nome a Karl Friederick Gauss, che la propose per la descrizione delle deviazioni delle misure astronomiche rispetto al loro andamento medio. Egli ipotizzò infatti che tali deviazioni fossero dovute ad errori casuali di misura e, in base ad argomenti abbastanza generali, derivò una funzione densità di probabilità del tipo appena mostrato (vedi paragrafo 11.4. Stanti i forti argomenti teorici per ritenere che gli errori casuali debbano seguire tale distribuzione (vedi paragrafo 10.15 e 11.2) e la effettiva compatibilità dei dati sperimentali con tale ipotesi, viene comunemente detto che gli errori casuali ``seguono normalmente'' tale distribuzione e la distribuzione stessa è perciò chiamata anche distribuzione normale.

Imponendo la condizione di normalizzazione e ridefinendo opportunamente i parametri in modo tale da far apparire esplicitamente valore atteso e deviazione standard della distribuzione otteniamo la forma nella quale essa è comunemente conosciuta:

$\displaystyle f(x\,\vert\,{\cal N}(\mu,\sigma)) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{...
... < +\infty \\  -\infty < \mu < +\infty\\  0 < \sigma <\infty \end{array}\right.$ (8.15)

Quindi (anche se non lo dimostriamo):
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mu$  
Var$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma^2\,.$  

Questa distribuzione ricopre un ruolo notevole non soltanto per la descrizione degli errori casuali, ma anche perchè essa risulta essere la distribuzione a cui tendono, sotto condizioni generali che descriveremo, molte altre distribuzioni, comprese la binomiale e la poissoniana.

Elenchiamo le sue proprietà principali:

Figura: Esempi di distribuzione normale.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago5.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}

La figura 8.5a mostra degli esempi di distribuzione normale, per alcuni valori di $ \mu $ e di $ \sigma $. Nella figura 8.5b è anche riportata, per ciascuna $ f(x)$, la relativa funzione di ripartizione8.3 $ F(x)$, la cui espressione matematica è data, per definizione::

$\displaystyle F(x\,\vert\,{\cal N}(\mu,\sigma))=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}}$   d$\displaystyle z$ (8.16)

Purtroppo l'integrale non ha una forma semplice. Vedremo nel prossimo paragrafo come valutarla mediante opportune tabelle. Anche senza l'espressione analitica, possiamo elencare alcune proprietà della funzione di ripartizione, ottenibili direttamente da quelle della $ f(x)$:

Figura: Rappresentazione su scala delle ordinate logaritmica della distribuzione normale standardizzata ( $ {\cal N}(0,1)$).
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/normalog.eps,width=8.0cm,clip=}\end{figure}

Per fare apprezzare meglio gli andamenti delle code della distribuzione la figura 8.6 mostra su su scala logaritmica la distribuzione normale avente $ \mu=0$ e $ \sigma=1$.

Figura: Distribuzioni di Laplace, di Gauss, triangolare e uniforme aventi E$ (X)=0$ e $ \sigma (X)=1$.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/nola.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}


next up previous contents
Next: Distribuzione normale standardizzata Up: Distribuzioni di probabilità di Previous: pzd100Distribuzione esponenziale doppia   Indice
Giulio D'Agostini 2001-04-02