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Uso delle tabelle dell'integrale della distribuzione normale standardizzata

Esistono tabelle dell'integrale della ( 8.17) espresso in genere come 8.4

$\displaystyle T(z) = \int_{0}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{\prime 2}}{2}}$d$\displaystyle z^\prime\,.$ (8.19)

Da queste tabelle è possibile calcolare qualsiasi altro integrale facendo uso delle proprietà di simmetria della funzione e dei valori notevoli di $ F(x)$. Un esempio è riportato in tabella 8.1.

Tabella 8.1: Tabella per il calcolo della funzione cumulativa della distribuzione della normale.
$ z$ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586
0.1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535
0.2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409
0.3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173
0.4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793
0.5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240
0.6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490
0.7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524
0.8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327
0.9 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891
1.0 34134 34375 34614 34849 35083 35314 35543 35769 35993 36214
1.1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298
1.2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147
1.3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774
1.4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42785 42922 43056 43189
1.5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408
1.6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449
1.7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327
1.8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062
1.9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670
2.0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169
2.1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574
2.2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899
2.3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158
2.4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361
2.5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520
2.6 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643
2.7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736
2.8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807
2.9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861
3.0 135-02 131-02 126-02 122-02 118-02 114-02 111-02 107-02 104-02 100-02
3.1 968-03 935-03 904-03 874-03 845-03 816-03 789-03 762-03 736-03 711-03
3.2 687-03 664-03 641-03 619-03 598-03 577-03 557-03 538-03 519-03 501-03
3.3 483-03 466-03 450-03 434-03 419-03 404-03 390-03 376-03 362-03 349-03
3.4 337-03 325-03 313-03 302-03 291-03 280-03 270-03 260-03 251-03 242-03
3.5 233-03 224-03 216-03 208-03 200-03 193-03 185-03 178-03 172-03 165-03
3.6 159-03 153-03 147-03 142-03 136-03 131-03 126-03 121-03 117-03 112-03
3.7 108-03 104-03 996-04 957-04 920-04 884-04 850-04 816-04 784-04 753-04
3.8 723-04 695-04 667-04 641-04 615-04 591-04 567-04 544-04 522-04 501-04
3.9 481-04 461-04 443-04 425-04 407-04 391-04 375-04 359-04 345-04 330-04
4.0 317-04 304-04 291-04 279-04 267-04 256-04 245-04 235-04 225-04 216-04
4.1 207-04 198-04 189-04 181-04 174-04 166-04 159-04 152-04 146-04 139-04
4.2 133-04 128-04 122-04 117-04 112-04 107-04 102-04 977-05 934-05 893-05
4.3 854-05 816-05 780-05 746-05 712-05 681-05 650-05 621-05 593-05 567-05
4.4 541-05 517-05 494-05 471-05 450-05 429-05 410-05 391-05 373-05 356-05
4.5 340-05 324-05 309-05 295-05 281-05 268-05 256-05 244-05 232-05 222-05
4.6 211-05 201-05 192-05 183-05 174-05 166-05 158-05 151-05 143-05 137-05
4.7 130-05 124-05 118-05 112-05 107-05 102-05 968-06 921-06 876-06 834-06
4.8 793-06 755-06 718-06 683-06 649-06 617-06 587-06 558-06 530-06 504-06
4.9 479-06 455-06 433-06 411-06 391-06 371-06 352-06 335-06 318-06 302-06


Essa va letta nel seguente modo:

Figura: Esempio di calcolo dell'integrale della funzione normale standardizzata. L'integrale della figura $ A$ è pari alla somma di quelli di $ B$ e $ C$, leggibili dalle tabelle.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/gauss_int.eps,width=0.8\linewidth,clip=}\end{figure}

La simmetria della distribuzione normale permette di valutare dalle stesse tavole anche l'integrale su un intervallo qualsiasi.

Figura: Distribuzione normale standardizzata e intervalli di probabilità.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago3.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}

Facciamo alcuni esempi di integrali calcolati fra $ z_1$ e $ z_2$, con $ z_1\, <\, z_2$: Alcuni esempi sono mostrati in figura 8.8. Riportiamo la soluzione numerica ottenute mediante la tabella 8.1:

$\displaystyle P(-0.5\le Z \le 1.0) = 0.19146 + 0.34134 = 0.53280\,.$

Terminiamo con un'ultima osservazione, implicita in quanto già detto: la probabilità di trovare la variabile casuale entro un certo numero di deviazioni standard non dipende dai valori di $ \mu $ e di $ \sigma $. Diamo alcuni valori notevoli di probabilità (vedi anche figura 8.9):

$\displaystyle P(\mu - 0.675\,\sigma \le X \le \mu + 0.675\,\sigma)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 50.0\,\%$  
$\displaystyle P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 68.3\,\%$  
$\displaystyle P(\mu - 1.64\,\sigma \le X \le \mu + 1.64\,\sigma)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 90.0\,\%$  
$\displaystyle P(\mu - 1.96\,\sigma \le X \le \mu + 1.96\,\sigma)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 95.0\,\%$  
$\displaystyle P(\mu - 2\,\sigma \le X \le \mu + 2\,\sigma)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 95.4\,\%$  
$\displaystyle P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 99.73\,\%$ (8.20)

È interessante confrontare questo si ottiene entro 1 e 2 $ \sigma $ con quanto visto nel paragrafo 7.10.

Per tornare ancora una volta sul fatto che la probabilità che un numero aleatorio sia compreso nell'intervallo di $ \pm 1$ deviazione standard dal valore atteso, mostriamo in figura 8.7 quattro diverse distribuzioni aventi tutte stesso valore atteso e stessa deviazione standard.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02