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Distribuzioni condizionate

In analogia alla probabilità condizionata esistono le distribuzioni di probabilità condizionate, nel senso che $ f(x)$ può essere subordinata alla conoscenza che $ Y$ sia uguale a $ y$, ovvero $ f(x\,\vert\,Y=y)$. Essa è indicata con

$\displaystyle f(x\,\vert\,y)$

ed è funzione soltanto di $ x$, mentre $ y$ svolge, per così dire, il ruolo di parametro. Quindi esistono tante diverse $ f(x\,\vert\,y)$ quanti sono i possibili valori di $ Y$, infiniti nel caso che $ Y$ sia una variabile continua.

Come detto nel paragrafo 7.16, l'estensione al caso discreto è immediata. Vediamo come ci si comporta per il caso continuo. Ricordiamo la formula che lega probabilità condizionata alla congiunta (vedi paragrafo 4.6):

$\displaystyle P(A\,\vert\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\,\,\,\,\,\,\, (\,P(B)\neq 0\, )$ (9.3)

Nel caso di variabile casuale continua possiamo scrivere in perfetta analogia:

$\displaystyle P(x\le X\le x+$d$\displaystyle x\,\vert\, Y = y) = \frac{P[(x\le X \le x + \mbox{d}x) \cap (y\le Y\le y+\mbox{d}y)]} {P(y\le Y\le y+\mbox{d}y)}\, ,$ (9.4)

con $ P(y\le Y\le y+$d$ y)\ne 0$. Passando alle funzioni densità di probabilità si ha
$\displaystyle f(x\,\vert\,y)\,$d$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f(x,y)\,\mbox{d}x\mbox{d}y}
{f(y)\,\mbox{d}y}\,,$  

da cui
$\displaystyle f(x\,\vert\,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f(x,y)}{f(y)}$ (9.5)

con $ f(y)\ne 0$. Si ricorda che, come visto per la (9.3), neanche la (9.5) definisce la distribuzione condizionata. In particolare, $ f(x\,\vert\,y)$ può essere valutata senza che sia nota (o abbia importanza) la funzione congiunta $ f(x,y)$ (vedi discussioni ai paragrafi 4.4 4.6). È comunque chiaro che, qualora invece la $ f(x,y)$ sia assegnata, essa contiene l'informazione più completa sullo stato di incertezza di $ Y$ e di $ Y$, in quanto da essa è possibile ricavarsi le marginali e le condizionate, ad esempio:

$\displaystyle f(x\,\vert\,y) = \frac{f(x,y)}{\int f(x,y)dx}\,.$

Si noti come la formula (9.5) non dipenda dal fatto che le $ f()$ siano probabilità o densità di probabilità, ovvero la formula è indipendentemente dal tipo di variabili. Inoltre, per simmetria, si ha

$\displaystyle f(x,y) = f(x\,\vert\,y)\cdot f(y) = f(y\,\vert\,x)\cdot f(x)\,.$ (9.6)

Così pure, in modo analogo alla (4.22), si ha, nel caso di molte variabili:

$\displaystyle f(x,y,z,\ldots) = f(y)\cdot f(x\,\vert\,y)\cdot f(z\,\vert\,x,y)\ldots $


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Giulio D'Agostini 2001-04-02