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pzd100 Caso generale di distribuzione multivariata

È semplice dimostrare che $ Q^2$ può essere riscritto come il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna

$\displaystyle Q^2 = \frac{1}{1-\rho^2}
\left( \begin{array}{cc}
\left( \frac{x...
...rray} \right)
\left( \begin{array}{c} x-\mu_x \\  y-\mu_y \end{array}\right)\,.$

Il vettore riga può essere ulteriormente scomposto come il prodotto di un vettore riga per una matrice $ 2\times 2$, ottenendo così la seguente decomposizione:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} x-\mu_x & y-\mu_y \end{array} \right) \f...
...ray} \right) \left( \begin{array}{c} x-\mu_x \\  y-\mu_y \end{array}\right) \,.$ (9.61)

Chiamando $ \underline{\Delta}$ il vettore colonna della differenza fra le variabili casuali e il loro valore atteso, $ \underline{\Delta^T}$ il vettore riga, in quanto trasposto di $ \underline{\Delta}$, e $ {\bf A}$ la matrice, $ Q^2$ acquista la seguente forma:

$\displaystyle Q^2 = \underline{\Delta}^T {\bf A} \underline{\Delta} \,,$

con

$\displaystyle {\bf A} = \frac{1}{1-\rho^2} \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\s...
...\  -\frac{\rho}{\sigma_x\sigma_y} & \frac{1}{\sigma_y^2} \end{array} \right)\,.$ (9.62)

È possibile riscrivere la matrice $ A$ in una forma più semplice se si passa alla sua inversa9.7, ottenendo

$\displaystyle {\bf\Sigma} = {\bf A}^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \sigma_x^2 ...
...ho\sigma_x\sigma_y \\  \rho\sigma_x\sigma_y & \sigma_y^2 \end{array} \right)\,.$ (9.63)

La matrice $ {\bf\Sigma}$ ha quindi un significato più immediato di $ {\bf A}$, in quanto i suoi elementi sono le varianze e le covarianze delle variabili casuali (si ricordi che $ \rho\sigma_x\sigma_y=$Cov$ (X\, Y)$). Utilizzando la forma compatta di scrivere le varianze e covarianze per un numero arbitrario di variabili casuali (vedi par sec:covarianza) si riconosce che

$\displaystyle \Sigma_{i,j} = \sigma_{i,j}\,.$ (9.64)

Inoltre, si può dimostrare che l'espressione di $ Q^2$ scritta nella forma

$\displaystyle Q^2 = \underline{\Delta}^T{\bf\Sigma}^{-1}\underline{\Delta}$ (9.65)

può essere estesa ad un numero qualsiasi di variabili. Questo ci permette di ottenere la formula generale della multinomiale, se si riesce a scrivere in un modo compatto il denominatore del termine di fronte all'esponenziale. Per derivarne intuitivamente la forma si pensi possono fare le seguenti considerazioni. Poiché si può dimostrare che questa formula è valida anche nel caso generale, abbiamo finalmente ottenuto l'espressione della densità di probabilità di una distribuzione multinomiale di $ n$ variabili comunque correlate fra di loro:

$\displaystyle f(\underline{x}\,\vert\,{\cal N}(\underline{\mu}, {\bf\Sigma})) =...
... -\frac{1}{2}\underline{\Delta}^T{\bf\Sigma}^{-1}\underline{\Delta} \right]}\,,$ (9.66)

ovvero

$\displaystyle f(\underline{x}\,\vert\,{\cal N}(\underline{\mu}, {\bf\Sigma})) =...
...\underline{\mu})^T {\bf\Sigma}^{-1} (\underline{x}-\underline{\mu}) \right]}\,,$ (9.67)

dove, ripetiamo ancora una volta, $ \underline{x}$ rappresenta il vettore aleatorio $ \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. La notazione $ {\cal N}(\underline{\mu}, {\bf\Sigma})$ è simile a quella della semplice gaussiana, con le dovute differenze: La densità di probabilità a molte dimensioni non è rappresentabile graficamente. Si ricordi comunque che Si può verificare facilmente che, se i coefficienti di correlazione fra le variabili sono tutti nulli e quindi nella matrice di covarianza sono diversi da zero soltanto i termini diagonali, la (  9.69) si riduce al prodotto di $ n$ normali univariate:

$\displaystyle f(\underline{x}\,\vert\,{\cal N}(\underline{\mu}, \underline{\sig...
..._i} \exp{\left[ -\frac{1}{2} \sum_i\frac{(x_i-\mu_i)^2}{\sigma_i^2} \right]}\,.$ (9.68)



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Giulio D'Agostini 2001-04-02