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Propagazione delle incertezze

La condizione di incertezza su alcune grandezze si riflette in genere su ogni altra grandezza che sia funzione di esse. Ad esempio, immaginiamo di essere interessati all'area ($ A$) e al perimetro ($ p$) di un rettangolo (idealizzazione del piano di un tavolo), di cui sono stati misurati i due lati ($ a$ e $ b$). L'inevitabile incertezza sul valore di $ a$ e di $ b$ (a cui andrebbe aggiunta quella legata al fatto che il quadrilatero potrebbe essere non perfettamente retto) si riflette su $ A$ e su $ p$. Il termine con cui questo processo è noto è propagazione delle incertezze.

Come sappiamo, i gradi di fiducia sui possibili valori di $ a$ e di $ b$ sono espressi da $ f(a)$ e $ f(b)$. Ma, nel caso generale, i valori10.1di $ a$ e di $ b$ non sono indipendenti, come può succedere nel caso che i lati siano stati misurati con lo stesso strumento, non perfettamente calibrato10.2. Quindi, in genere bisognerà considerare la funzione congiunta $ f(a,b)$. Per poter quantificare nel modo più generale l'incertezza su area e perimetro, bisogna imparare a valutare $ f(A)$ e $ f(p)$ partendo da $ f(a,b)$ (o da $ f(a)$ e $ f(b)$ nel caso di indipendenza). In realtà, anche in questo caso, la soluzione più generale al problema si ottiene mediante il calcolo di $ f(A,p)$. Infatti ci aspettiamo che $ A$ e $ p$ abbiano un certo grado di correlazione, in quanto sono calcolate dalle stesse informazioni di partenza. Riepilogando, il problema consiste nel valutare $ f(A,p)$ a partire da $ f(a,b)$:

$\displaystyle f(a,b) \Rightarrow f(A,p)\,.$ (10.1)

Come vedremo, il problema generale può diventare abbastanza complesso dal punto di vista del calcolo. Ci accontenteremo di calcolare soltanto previsione e incertezza di previsione delle varie grandezze e, qualora esistano correlazioni, del loro coefficiente di correlazione. Nella maggior parte dei casi pratici (e ``tranquilli'') queste approssimazioni sono più che ragionevole e vedremo come esse ci permetteranno, sotto certe ipotesi spesso soddisfatte, di effettuare affermazioni probabilistiche sui valori delle grandezza. È comunque importante ricordarsi che, all'occorrenza, bisogna affrontare il problema nel modo più rigoroso, descritto da una generalizzazione della (10.1), che scriviamo con

$\displaystyle f(x_1, x_2,\ldots, x_n)\xrightarrow[Y_j = Y_j(X_1, X_2,\ldots, X_n)]{}f(y_1, y_2,\ldots, y_m)\,,$ (10.2)

ove con $ Y_j=Y_j(\cdots)$ è indicata la $ j$-ma funzione che lega le $ n$ $ X_i$ alle $ m$ $ Y_j$. La soluzione minimale che affronteremo nei dettagli sarà invece il solo caso di propagazione di previsione ed incertezza di combinazioni lineari di variabili:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\mbox{E}(X_i) \\  \sigma(X_i) \\  \rho(X_...
...}{l} \mbox{E}(Y_j) \\  \sigma(Y_j) \\  \rho(Y_j,Y_{j^\prime})\end{array}\right.$ (10.3)

A questo caso ci ridurremo, previe linearizazioni, nel caso di funzioni qualsiasi (e nei limiti in cui le linearizzazioni siano ragionevoli).

I prossimi paragrafi, dedicati alla valutazione della distribuzione di probabilità di funzioni di variabili casuali, possono essere saltati da chi non è interessato a tale argomento. In tale caso si vada direttamente al paragrafo 10.6.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02