Limite della media aritmetica

Prendiamo $n$ variabili casuali $X_i$ i cui valori sono descritti da una distribuzione di probabilità che sia la stessa per tutte le variabili. Si può pensare quindi ad un esperimento condotto $n$ volte sotto le stesse condizioni. Tale distribuzione ha valore atteso $\mu$ e deviazione standard $\sigma$.

Interessiamoci alla media aritmetica

$$\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_iX_i$$

effettuata sui valori di $X_i$ che si verificheranno. Come abbiamo già visto, anche $\overline{X}_n$ è una variabile casuale, in quanto funzione di variabili casuali. Abbiamo già visto che

$$\mu_{\overline{X}_n} \equiv (\overline{X}) = \mu$$

$$\sigma_{\overline{X}_n} = \sigma(\overline{X}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Per quanto detto nel paragrafo 7.10 ci aspettiamo che al crescere di $n$ diminuisce la probabilità di trovare valori di $\overline{X}_n$ ``molto distanti'' da $\mu$. Ripetiamo il ragionamento, facendo uso della disuguaglianza di Cebicev, applicata alla variabile casuale $\overline{X}_n$ (in realtà si può fare anche uso della forma esatta della distribuzione di probabilità di $\overline{X}_n$, che vedremo fra breve parlando del teorema del limite centrale):

$$P(\vert\overline{X}_n-\mu_{\overline{X}_n}\vert \ge k \sigma{\overline{X}_n}) \le \frac{1}{k^2}\,.$$

Inserendo i valori di $\mu_{\overline{X}_n}$ e $\sigma{\overline{X}_n}$ si ottiene

$$P(\vert\overline{X}-\mu\vert \geq k\, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \leq \frac{1}{k^2}\,.$$ (10.50)

L'interpretazioone di questa disuguaglianza è che, data una certa $\sigma$, fissato un certo livello di probabilità $1/k^2$ e un valore dello scarto $\Delta$ piccoli a piacere, è sufficiente effettuare un numero di prove corrispondentemente grande affinche' la probabiltà di osservare uno scarto assoluto maggiore di $\Delta$ sia inferiore al valore di probabilità prescelto.

Facciamo un esempio numerico: prendiamo $\sigma=1$, il valore di probabilità dell'1% e uno scarto $\Delta=10^{-3}$. Riformuliamo il problema: quante prove devo fare per essere sicuro al 99% che $\overline{X}$ non differirà per più di $10^{-3}$ da $\mu$? Dalla 10.50 abbiamo che

$$k = \sqrt{\frac{1}{p}} = 10$$

$$n = \left(\frac{k\,\sigma}{\Delta}\right)^2 = 10\times 10^6\,.$$

Se scegliamo $\Delta=10^{-6}$ abbiamo bisogno di $n= 10^{13}$ per avere lo stesso livello di sicurezza. Mantenendo $\Delta=10^{-6}$, possiamo richiedere un livello di sicurezza del 99.99% che lo scarto sia contenuto entro $\Delta$, ma allora avremo bisogno di $n= 10^{15}$ prove. E così via. Quindi, quando il numero di prove è grandissimo siamo ``praticamente'' sicuri di trovare $\overline{X}$ prossimo a $\mu$. Possiamo esprimere il risultato dicendo che

``$$\lim_{n\rightarrow \infty}$$''$$\overline{X} = \mu\,,$$

dove le virgolette stanno a ricordare che tale concetto è ben diverso dal limite di funzioni. In particolare, esso non garantisce che, pur effettuando un numero di prove arbitrariamente grande, ci sia la certezza di trovare $\overline{X}$ entro $\Delta$ da $\mu$ (anche se $\Delta$ è relativamente grande, purché non superiore all'intervallo di definizione di $X$).