Confronto fra due ipotesi

Supponiamo che, in base alla nostra conoscenza, le intensità del processo di Poisson $r_1=0.1779\,$s e $r_2=0.1781\,$s siano ugualmente probabili (ad esempio alla luce dei dati da 300 s che indicano $r=0.178$ conteggi/s). A quale dei due crederemo di più qualora osservassimo la sequenza misurata? Per compattare la notazione, indichiamo con il vettore (o ``n-tupla'') $\underline{X}$ le possibili sequenze osservabili e con $\underline{x}$ la particolare sequenza che ci interessa. Applicando il teorema di Bayes nella forma che intervenire il rapporto delle verosimiglianze (il cosiddetto fattore di Bayes), abbiamo:

$$\frac{P(r_1\,\vert\,\underline{x})}{P(r_2\,\vert\,\underline{x})} = \frac{P(\underline{x}\,\vert\,r_1)} {P(\underline{x}\,\vert\,r_2)} \times \frac{P_\circ(r_1)}{P_\circ(r_2)}$$

$$= \frac{P(0\,\vert\,r_1)^{56}\,P(1\,\vert\,r_1)^{32}\cdot\,\cdots\,... ...,P(1\,\vert\,r_2)^{32}\cdot\, \cdots\, \cdot P(4\,\vert\,r_2)^{1} } \times 1\,,$$ (9.6)

ove il fattore 1 deriva dall'equiprobabilità iniziale delle ipotesi. Si noti inoltre come saremmo arrivati alla stessa conclusione se, invece di considerare la probabilità della sequenza particolare, avessimo considerato la probabilità della distribuzione costituita da 56 volte zero conteggi, 32 volte un conteggio, 9 volte due conteggi, 2 volte tre conteggi e 1 volta quattro conteggi. Infatti le due verosimiglianze differiscono per lo stesso coefficiente multinomiale (che vale $0.7\times 10^{42}$ in questo caso), il quale non dipende da $r$ e quindi si semplifica. Calcolando le probabilità che entrano nella (9.6), otteniamo il seguente rapporto di probabilità:

$$\frac{P(r_1\,\vert\,\underline{x})}{P(r_2\,\vert\,\underline{x})} = \frac{0.5864^{56}\cdot 0.3130^{32} \cdot 0.0835^9\cdot 0.01486^2\... ....5861^{56}\cdot 0.3131^{32} \cdot 0.0837^9\cdot 0.01490^2\cdot 0.00199^1}=0.993$$

I dati simulati da 3 secondi favoriscono quindi, anche se molto leggermente, il valore $r_2$. Se invece si confrontasse l'ipotesi $r_3=0.190\,$   conteggi/s contro $r_1$ si otterebbe (sembre assumendo $r_1$ e $r_3$ ugualmente possibili a priori):

$$\frac{P(r_1\,\vert\,\underline{x})} {P(r_3\,\vert\,\underline{x})} = \frac{0.5864^{56}\cdot 0.3130^{32} \cdot 0.0835^9\cdot 0.01486^2\... ...565^{56}\cdot 0.3224^{32} \cdot 0.0919^9\cdot 0.0175^2\cdot 0.00249^1}=0.727\,,$$

ovvero quei dati simulati favoriscono abbastanza la terza ipotesi.

Prima di procedere al caso più generale di un numero infinito di ipotesi, vale la pena di fare un commento su alcuni errori tipici che si commettono quando si parla di probabilità di dati sperimentali e di probabilità di ipotesi.

• Innanzitutto bisigna fare attenzione a quando si parla di probabilità dei dati sperimentali. Essendo dati osservati, su di essi non c'è incertezza, e quindi la probabilità vale 1. Scrivere quindi, nel linguaggio che stiamo utilizzando, $P(\underline{x}\,\vert\,r_1)$ si riferisce, ``genericamente'', alla probabilità di osservare quella configurazione di dati sotto quella precisa ipotesi.
• Quando si parla di probabilità dei dati sperimentali data una certa ipotesi si può intendere ``probabilità della particolare sequenza'' o ``probabilità del tipo di distribuzione a cui tale sequenza può dare luogo''. Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la differenza fra i due numeri può essere enorme ( $0.7\times 10^{42}$ nel caso che stiamo trattando), anche se per quanto riguarda l'inferenza tale fattore, dovuto al coefficiente multinomiale binomiale, si semplifica.
• La probabilità di avere la sequenza $\underline{x}$ vale, per le tre ipotesi di $r$,
  

  $$P(\underline{x}\,\vert\,r_1) = 6.51 \times 10^{-46}$$

  $$P(\underline{x}\,\vert\,r_2) = 6.56 \times 10^{-46}$$

  $$P(\underline{x}\,\vert\,r_3) = 8.95 \times 10^{-46}\,,$$

  
  
  ma non possiamo affermare, ad esempio, ``la probabilità che la sequenza $\underline{x}$ sia dovuta a $r_1$ è uguale a $6.51 \times 10^{-46}$'', perché altrimenti ci sarebbe una probabilità di $1-6.51 \times 10^{-46}$ che tale sequenza non sia dovuta a $r_1$. Infatti ``esser dovuto a $r_1$'' ha lo stesso significato di ``il processo di Poisson di intensità $r_1$ è la causa della sequenza $\underline{x}$''. Quindi, ``la probabilità che la sequenza $\underline{x}$ sia dovuta a $r_1$'' è pari a $P(r_1\,\vert\,\underline{x})$. È invece corretto dire ``c'è una probabilità di $6.51 \times 10^{-46}$ che un processo di Poisson di intensità $r_1$ dia luogo alla (produca la) sequenza $\underline{x}$''.
• Per calcolare la probabilità delle ipotesi bisogna passare necessariamente attraverso il teorema di Bayes e quindi attraverso le cosiddette ``prior''. Quindi, scrivendo esplicitamente le probabilità iniziali nel condizionante, possiamo avere i seguenti casi:
  

  $$P(r_1\,\vert\,\underline{x}, P_\circ(r_1)=P_\circ(r_2)=1/2) = 0.498$$

  $$P(r_1\,\vert\,\underline{x}, P_\circ(r_1)=P_\circ(r_3)=1/2) = 0.421$$

  $$P(r_1\,\vert\,\underline{x}, P_\circ(r_1)=P_\circ(r_2)=P\circ(r_3)=1/3) = 0.296$$

  $$P(r_1\,\vert\,\underline{x}, P_\circ(r_1)=1) = 1\,.$$

  
  
  Nel caso si stia affrontando un problema controverso e non ce se la sente di inserire delle probabilità a priori (necessariamente soggettive e, se il problema è controverso, per definizione fortemente dipendenti da persona a persona), la lista delle verosimiglianze per tutte le ipotesi di interesse rappresenta il modo più oggettivo di riportare il risultato dell'esperimento.^9.6