Regola della mezza divisione

Questa è una delle regole più radicate nella mente di chi ha seguito corsi tradizionali di teoria della misura, una sorta di dogma al quale credere, scarsamente supportato (se preso alla lettera) da giustificazioni teoriche o pratiche. In realtà è abbastanza semplice convincersi che:

• $\Delta x = \frac{1}{2}\,$divisione non corrisponde all'errore di lettura^A.4: provare per credere! Ad esempio, una semplisissima esperienza consiste nel fare delle misure con un calibro e confrontare il valore stimato interpolando fra le tacche (distanziate un millimetro) con quello letto sul nonio (vedi tabella 2.2 in Appendice). Il risultato che si ottiene è ben lontano da un errore di mezza divisione. Si notano scarti tipici al più dell'ordine di un decimo di divisione e la deviazione standard tipica degli scarti interpolazione-nonio è inferiore al decimo di divisione, con un massimo di frequenza intorno a $\approx 0.7$ decimi, un valore niente affatto casuale alla luce di quanto vedremo fra breve.

  In effetti, questo è in linea con la tradizione classica (tuttora in voga in giro per il mondo) che raccomanda di sforzarsi di leggere fra le divisioni. Mostriamo, come curiosità, una figura tratta da un articolo su Nature (del 14 marzo 1996, Vol. 380, pag. 101) sull'astronomo Nevil Maskelyne. Questi licenziò il suo assistente, accusandolo di non essere accurato nelle letture (qualcuno insinua che questo non sia stato il motivo principale, ma per noi è irrilevante). La figura A.2 riporta la distribuzione dell'ultima cifra (ovvero quella stimata interpolando fra le tacche) delle misure di Maskelyne e del suo assistente.

  Figura: Istogramma dell'ultima cifra significativa nei dati di Maskelyne e in quelli del suo assistente.

  
  Si noti come anche quest'ultimo abbia una certa tendenza ad arrotondare un po' troppo, o a predilire certe cifre, ma niente a che vedere con la superficialità di Kinnebrook.

  È interessante vedere cosa raccomandano le varie norme degli istituti di metrologia a proposito degli strumenti a lettura analogica.

  • ``Line scales mainly have a scale numbering with regular spacing and are mostly intended for a continuous indication of measured values''. (DIN 1319, part 2, 6.1.1) [Per ``continuo'' si intende che la quantizzazione della lettura alla mezza divisione è arbitraria.]
  • ``Unduly small scale spacing (less than approx. 0.7 mm) should be avoided, since such scales are tiring to read and in particular the estimating of tenths is impossible so that the observation is rendered less certain.'' (DIN 1319, part 2, 6.3)
  • ``In some areas of metrology the term ``resolution'' is used. This is understood to mean the small change in the value of the measurand which is necessary to produce a perceptible (often specified) small change in the response (in the case of measuring instruments with scale indication, for example, 1/5 of the scale interval)''. (DIN 1319, part 2, 9)
  • ``In un formato per osservatore umano l'incertezza di lettura dipende dalle caratteristiche costruttive della scala e dell'indice, dalle modalità d'osservazione, dal rumore eventuale e dall'abilità dell'osservatore. Per esempio se si ammette che un osservatore di normale abilità, leggendo lo strumento nella posizione appropriata, possa stimare 1/5 di divisione, si indicherà come incertezza di lettura $\pm 0.1$ divisioni.''^A.5 (UNI 4546, 5.5)
  Ne segue che, quando le condizioni di misura lo permettono, bisogna sforzarsi a leggere fra le tacche^A.6.
• $\Delta x = \frac{1}{2}\,$divisione non corrisponde all'errore di calibrazione (si sente ripetere spesso ``il costruttore ha disegnato le tacche in modo tale che ...''). Per convirsene, è sufficiente leggere le norme (ISO, DIN, UNI) a cui i costruttori di strumenti si devono attenere. Si scopre allora come il possibile errore di calibrazione possa essere, in taluni casi, ben inferiore al decimo di divisione (nel caso dei righelli, per esempio), mentre in altri si arriva addirittura ad alcune divisioni (il caso di alcuni termometri). Ad esempio, la norma su ``Attrezzi da disegno - Modalità di controllo e precisione per squadre, righe e multidecimetri'' (UNI 5131) riporta:
  • Sulla lunghezza $l$ della parte millimetrata è ammessa una tolleranza di
    $$\pm \frac{0.20\, l}{1000}\,.$$

  Quindi per i normali righelli abbiamo tolleranze di circa $\pm 0.1\,$mm per letture fatte a fondo scala (ed, in ogni caso, le letture prossime sono necessariamente correlate, in quanto un eventuale difetto dello strumento si ripercuote in entrambe).

Un ultimo commento sulla regola della mezza divisione: essa implicherebbe che

• questo sia il solo errore in gioco, mentre, come visto precedentemente, sono molte le cause di incertezza e molto spesso lo sperimentatore fa parte integrante del processo di misura;
• i vari errori siano non correlati (per quanto riguarda il successivo uso nelle propagazioni).

Da questa regola discende inoltre l'imperativo di riportare i punti sperimentali sui grafici sempre con le loro ``barre di errore'', che sarà commentato fra breve.