Varianza e deviazione standard

Più la distribuzione è ``larga'' e più è frequente trovare grandi scarti $d_i=x_i-\overline{x}$, sia positivi che negativi. Quindi, come la media può essere utilizzata per valutare la posizione tipica dei dati sperimentali, così la media degli scarti potrebbe essere utilizzata come misura della dispersione dei dati. Ma, poiché gli scarti positivi sono compensati da scarti negativi, la media degli scarti, presi con il loro segno, è nulla. Si potrebbe ovviare a questo inconveniente considerando la media del modulo degli scarti, ma per comodità si preferisce calcolare la media dei quadrati degli scarti e prendere poi la radice quadrata (positiva). Queste due grandezze sono chiamate rispettivamente varianza e deviazione standard (o scarto quadratico medio). I simboli utilizzati in questo testo sono Var e $\sigma^2$ per la varianza, $\sigma$ per la deviazione standard^5.6. Dalla definizione abbiamo quindi

$$\sigma^2(X) = (X) = \frac{1}{N}\sum_i d_i^2 = \frac{1}{N}\sum_i (x_i-\overline{x})^2\,$$ (5.11)

ovvero, se i dati sono riuniti in classi,

$$\sigma^2(X) = (X) = \frac{1}{N}\sum_k n_k\cdot d_k^2 = \frac{1}{N}\sum_k n_k\cdot (x_k-\overline{x})^2$$ (5.12)

$$= \frac{\sum_k n_k\cdot (x_k-\overline{x})^2} {\sum_k n_k}$$ (5.13)

$$= \sum_k f_k\cdot (x_k-\overline{x})^2$$ (5.14)

$$= \sum_k w_k\cdot (x_k-\overline{x})^2$$ (5.15)

e

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}\,.$$ (5.16)

Vedremo nel paragrafo 5.6 il modo più opportuno per calcolare la varianza.