Misure di dispersione

Ci sono molti modi possibili per quantificare la ``larghezza'' di una distribuzione statistica. Il più semplice è quello di fornire il campo di variabilità dei dati sperimentali, ovvero il valore minimo e quello massimo assunti dalle unità statistiche<sup>5.4</sup>. Questa misura può però dipendere da occasionali valori eccezionali che non danno l'idea dell'effettiva dispersione dei dati sperimentali intorno al loro centro. Ad esempio, nei dati del contatore per 300 s il campo di variabilità è compreso fra 33 e 78, da cui risulterebbe che la distribuzione è larga 45. Però tali valori estremi sono alquanto isolati ed è facile immaginare che in un'altra misura effettuata nelle stesse condizioni si possano ottenere grandi variazioni da 45. In altre parole è interessante trovare delle misure di dispersione del ``tipo'' di distribuzione e non soltanto di quella effettivamente osservata^5.5.

Un altro problema del campo di variabilità è che esso dipende dalla quantità dei dati osservati. Se prendiamo in considerazione i primi 20 valori dei dati da 300 s l'intervallo è quasi la metà di quello ottenuto per 100 valori. Si può immaginare ragionevolmente che più dati raccogliamo e più è facile che prima o poi compaiano valori sempre più lontani dalla media. È opportuno quindi scegliere altre misure di larghezza più legate alla forma e meno dipendenti dalla scala della distribuzione, ovvero dal numero totale di dati raccolti. Si può utilizzare ad esempio l'intervallo centrato intorno alla media che contiene una certa percentuale dei dati sperimentali (50 o 90%), oppure la larghezza della distribuzione misurata ove i pesi statistici sono una certa frazione (5, 10, 50%) della frequenza massima.

Gli statistici usano molto i quantili e percentili che indicano la percentuale di dati sperimentali compresi in un certo intervallo, ma queste tecniche vanno al di là del nostro interesse e non presentano nessuna difficoltà di comprensione.

Figura: Esempio di larghezza a metà altezza (full width half maximum).

Delle varie misure grafiche di dispersione vale la pena di accennare alla larghezza a metà altezza, in inglese full width half maximum (FWHM), che permette di misurare la larghezza di una distribuzione da un istogramma senza dover fare conti. Per come è definità essa è anche poco sensibile a eventuali code estreme della distribuzione e soprattutto ad eventi di fondo casuale (cioè non derivanti dal segnale fisico di interesse) che si verifica a volte in modo circa uniforme estendendosi anche alcuni ordini di grandezza intorno ai valori tipici del segnale, inficiando le altre misure di dispersione (in questo caso anche le usuali misure di posizione perdono valore e bisogna procedere un po' a occhio e un po' cercando di modellizzare segnale e fondo, ma per ora non ci occupiamo di questi problemi).

La figura 5.1 mostra un esempio di valutazione di FWHM sulla distribuzione dei tempi di attesa per avere 100 conteggi, già riportata in figura 4.3. Si noti come a prescrizione di ``larghezza a metà altezza'' in pratica non viene presa alla lettera, ma smussando a occhio la distribuzione.

La metà della FWHM è chiamata ``semilarghezza a metà altezza'' ed è indicata come HWHM (half width half maximum).

La misura di dispersione più utile in assoluto e di uso universale è comunque quella legata agli scarti dei dati sperimentali rispetto alla loro media e sarà trattata nel prossimo paragrafo