- Introduzione al corso.
- Alcuni suggerimenti per la didattica, in particolare sull'introduzione dei vettori nei corsi di fisica.
- Divagazioni a ruota libera come spunto
per ripasso:
- Vettori e prodotto scalare.
- Lavoro su spostamento infinitesimo e su finito a seconda che la forza sia o meno costante.
- Somma dei lavori lungo i vari assi e relazione con prodotto scalare.
- Principi della meccanica (in particolare "F=ma"
e "azione-reazione"):
- esercizio per casa identificare le forze applicate su oggetto fermo, poggiato su tavolo e tirato con elastico, e le corrispondenti reazioni.
- Forza e accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre (" perché la Terra 'attira' il gessetto e non il gessetto la Terra?")
- Moto del pendolo (animazione del sito): forze in gioco, accelerazione e velocità.
- Perché il metro batte il secondo?
(breve storia critica sulla nascita del metro, con ulteriori spunti di ripasso e di approfondimento)- Definizioni moderne e storiche del metro e del secondo.
- Velocità della luce.
- Isocronismo del pendolo.
- Paralleli e meridiani; latitudine e longitudine; polo ed equatore.
- Moto circolare uniforme.
- Prima e seconda legge di Keplero.
- Giorno solare, giorno solare medio, giorno siderale e giorno di calendario.
- Sistema decimale.
- Forza di gravità ed accelerazione di gravità sulla superficie terrestre.
- Semiperiodo del "metro planetario" (rozzamente, quarantemilionesima parte della circonferenza) e sua dipendenza dalle caratteristiche dei pianeti (assunti sferici, omogenei).
- Il caos metrologico nella Francia del '700.
- Difficoltà nel cambiare unità di misura (e di valuta).
- Unità di potenza in uso in Italia: W, HP, kCal/h e Btu/h (1 Btu = 1055 Joule, c.a 1kJ); conversione fra le diverse unità.
Lavoro suggerito:
[Nota: cercare di fare questi lavori con regolarità
in quanto, inevitabilmente, il materiale aumenterà
con il tempo. (vedi Fantasy of the Miracle Finish
nelle "5 raccomandazioni " lincate nella home page).]
- Analizzare attentamente l'animazione del pendolo e farsi una ragione (ovvero "essere in grado di descrivere in modo convincente") del comportamento dei vari vettori.
- Calcolare semiperiodo di pendolo di un metro e lunghezza del pendolo di semiperiodo un secondo.
- Forze applicate (e reazioni ad esse) su corpo fermo su tavolo e tirato orizzontalmente da elastichetto.
- Conversione Btu/h -> Watt (in particolare, a quanto corrispondono 7000Btu/h?).
- Quanta potenza erogano 100 persone sedute in una sala cinematografica? Quanti Btu/h deve avere l'impianto di condizionamento?
- Dipendenza di g (acc. gravità) dai parametri planetari (pianeta sferico di raggio R e densità ρ).
- Periodo di oscillazione di pendolo lungo un "metro planetario" (quarantamilionesimo del meridiano del pianeta).
- Relazione fra giorno solare e giorno siderale nel caso di orbita perfettamente circolare (in particolare: spiegare in modo qualitativo ma convincente quale dei due è maggiore).
- Problemi in sospeso dalla lezione scorsa,
in particolare forze su oggetto tirato da elastico,
g sulla superfice dei diversi pianeti sferici e
giorno siderale/solare e
potenza dissipata dalle persone.
(A proposito, l'identificazione di giorno siderale con periodo di rotazione trascura il movimento dell'asse di rotazione che da luogo alla precessione degli equinozi.) - Uno sguardo verso il cielo:
- Come riconoscere i nord e il sud: abituarsi a riconoscere la stella polare; orientarsi con le antenne paraboliche.
- Dove siamo? (Consapevolezza della nostra posizione sul globo terrestre in termini di longitudini e latitudine. Longitudine e fusi orari. Stima grossolana della latitudine.)
- Seguiamo l'evoluzione della luna durante i prossimi mesi (forma e posizione nel cielo, soprattutto rispetto al sole - in particolare occhio ai quarti!).
- Seguiamo Giove nel cielo: -> misura della distanza Sole-Giove in unità astronomiche.
- Uso del computer nella scuola come ... computer
e non come oggetto multimediale.
- Cenno a R come
linguaggio franco per la didattica:
-> Installarlo, provare a dare qualche comando e cominciare ad usarlo come 'calcolatore'. - Importanza del calcolo numerico e delle simulazioni.
- Cenno a R come
linguaggio franco per la didattica:
- Continuazione storia delle unità di misure di lunghezza.
- Dalle unità antropomorfe alle unità prese dalla natura.
- Cronaca dell'imposizione del metro in Francia.
- La rivoluzione metrologica del 1791.
- Equatore, meridiano e pendolo del secondo.
- Dalla scoperta dell'isocronismo del pendolo alla proposta del pendolo del secondo come unità di misura.
- Tito Livio Burattini e il Metro Cattolico (e Peso Cattolico).
- 1790: si prospetta una convergenza mondiale per l'adozione del pendolo del secondo.
Lavoro per casa:
- Completare il lavoro della volta scorsa.
- Dipendenza di periodo, velocità e velocità angolare dei pianeti in funzione della loro distanza dal sole.
- Applicazione dei risultati ottenuti nel problema precedente: come usare le informazioni di velocità angolare per stimare il rapporto fra distanza Giove-Sole e Terra-Sole?
- Orbita geostazioria e sua importanza pratica. A quale distanza devono orbitare i satelliti geostazionari?
- Quanto è lungo un 'treno' di satelliti stazionario che dalla terra ha un'ampiezza angolare di un grado?
- `Barra del secondo' (Th. Jefferson, 1790): calcolare il periodo oscillazione di una barra di lunghezza l; calcolare la lunghezza della 'barra che batte il secondo'. (Suggerimento: partire da momento della forza di gravità intorno al punto di oscillazione e dal momento di inerzia, quindi usare l'usuale approssimazione per piccoli angoli.)
- Dato un pendolo semplice costituito da un pesetto sferico di raggio R e di lunghezza l (dal punto di oscillazione al centro della sfera), calcolare il periodo di oscillazione (sempre nell'approssimazione di piccoli angoli).
- Il problema precedente può essere riformulato come:
trovare la lunghezza del pendolo ideale con massa puntiforme
che abbia lo stesso periodo di oscillazione di un pendolo
avente un pesetto sospeso di forma sferica e dimensioni non
trascurabili.
(Per quanto riguarda il procedimento, vedi problema della barra del secondo.) - Misure dei lati del foglio A4 con righello-calendarietto; calcolo di area, semiperimetro e rapporto dei lati per ogni coppia di misure.
- Uso di calibro con nonio ventesimale.
- calibro virtuale (decimale).
- Strumenti a lettura analogica e digitale. Errore di lettura di strumenti analogici e dogma della mezza divisione (caveat!).
- Misura della capacità individuale di interpolazione fra le tacche della scala di uno strumento analogico.
- Programma per la misura dei riflessi (compilato sotto Linux):
- riflessi.c;
- kbhit.c (gestione tastiera);
- my_rand.c (gestione numeri casuali);
- riflessi (eseguibile Linux);
- cercasi volontari per scrivere versione Windows, dove kbhit() dovrebbe esistere di default...
- ... e per aggiungere opzioni al programma, ad esempio mettere i risultati su file.
- Soluzione numerica dell'equazione differenziale esatta
del pendolo semplice (ovvero senza l'approssimazione per
piccoli angoli).
- Cominciare a pensarci
- Per ora provare studiare e far girare questo script piu' semplice (o a scriverne una versione in qualche altro lunguaggio di programmazione) provando a modificarne parametri (magari facendoli chiedere al programma).
- Ripasso soluzione moto del pendolo semplice in approssimazione
di piccoli angoli.
- Quanto vale un radiante? (ordine di grandezza)
- Perché il periodo del pendolo non dipende dalla massa? -> Massa inerziale e massa gravitazionale.
- Equazione differenziale che dà luogo alle oscillazioni armoniche. Attenzione a non confondere la pulsazione con la velocità angolare del pendolo durante le oscillazioni.
- Dal pendolo semplice ideale al pendolo con massa sferica
non puntiforme e alla barra oscillante (pendolo fisico).
- forza -> momento della forza;
- massa (inerzia traslazionale) -> momento di inerzia (inerzia rotazionale);
- a = F/m -> acc. ang. = M/I.
- Rivedersi (e possibilmente ricavarsi - almeno per la barretta): momento di inerzia della barra intorno ad un estremo; momento d'inerzia di sferetta rispetto al proprio asse; momento d'inerzia di sferetta rispetto ad asse esterno ad essa.
Lavoro per casa:
- mettersi in paro con i problemi in corso (inclusi quelli proposti durante questa lezione).
- Seguendo il cielo d'autunno:
- Dove sta(va) la luna? (durante la lezione)
- Quando tramonta oggi? E quando risorge?
- Seguire nei prossimi giorni (di giorno!):
- posizione della luna rispetto al sole;
- sua forma in funzione della posizione rispetto al sole;
- come varia posizione e forma a ora fissata;
- perché “gobba a levante, luna calante”?
- che figura geometrica formano Sole-Luna-Terra quando la fase lunare è esattamente di un quarto? (Per l'ora esatta del quarto si guardi su Calendario di Frate Indovino o almanacchi vari.)
- Sempre dal sopra citato calendario (o simili) o da internet, si leggano
le ore esatte del plenilunio di ottobre e del plenilunio di novembre. Quindi:
- Calcolare il tempo fra i due pleniluni.
- Da questo tempo (e da eventuali altre informazioni ben note) si valuti il periodo di rotazione della luna intorno alla terra.
- A proposito:
- Perché vediamo sempre la stessa faccia della luna?
- Esiste “the dark side of the moon”? (Non nel senso del famoso album dei Pink Floyd...)
- Ancora su Giove:
- provare a misurare, arrangiandosi alla meglio, il suo spostamento angolare `orizzontale' alla stessa ora (ad as. alle 22:00). (meglio ancora se si stima anche l'angolo rispetto all'orizzonte - `verticale').
- Nelle prossime settimane, osservandolo sempre alla stessa ora, vedremo Giove spostarsi verso est o verso ovest?
- Lo spostamento è dovuto più a Giove o alla Terra (nel verso opposto)?
- Pianeti interni e pianeti esterni. È possibile osservare Venere splendere alta nel cielo verso mezzanotte?
- Ancora sul `pendolo equivalente' (vedi lezione precedenti):
- La risposta leq = 2/3 lbarra è corretta (chiaro per tutti?). Quindi, quanto è lunga la barra che batte il secondo?
- Momento d'inerzia di una sfera omogenea rispetto ad asse passante per il centro: impostazione dei conti, fino all'integrale di z3sqrt(1-z2) in dz da 0 a 1. (Perché, a parte fattori numerici, deve dipendere da R5?) Continuare.
- Misure con il volano.
- Descrizione del sistema. Scopo del volano: aumentare l'inerzia senza agire sulla massa inerziale dalla quale dipende la forza.
- Analogia didattica con piano inclinato (nel cui caso si cambia la forza
agendo sull'angolo).
(A proposito: misure primordiali di tempo; come faceva Galileo a convincersi che lo spazio percorso va come il quadrato del tempo?) - Misure nella configurazione `minimale', con bulloni e con palette.
- Analisi dei dati al computer (a casa - ingegnarsi!).
- Programmino di base in R: volano.R
- Esempio di dati sperimentali: NObulNOpala.txt
(notare come sono state cambiate le prime due righe rispetto al file originario). - Suggerimenti di lavoro da svolgere:
- calcolare `vettori' delle velocità e delle accelerazioni;
- per ogni configurazione
- senza palette, misurare l'accelerazione;
- come dipende l'accelerazione dal numero di bulloni?
- cosa cambia quando si aggiungono le palette?
- quanto vale il massimo raggiunto in funzione del numero di rimbalzo? (solo per la prima configurazione)
- quanto vale il tempo di discesa in funzione dell'altezza raggiunta nel rimbalzo precedente?
- Dalle tre misure senza palette (0, 1 e 2 coppie di bulloni): come è possibile stimare il momento di inerzia del solo volano?
- (Per questo punto serve trattare il sistema in termini di momento delle forze e momenti di inerzia.)
- Come è possibile valutare il momento delle forze passive?
- Dalla prima misura (con i rimbalzi): valutare la frazione di energia persa ad ogni ciclo di discesa-risalita.
- Per la misura con palette: come è possibile misurare la dipendenza della forza resistente (o meglio, del suo momento) dalla velocità?
- Altro?
- Analisi grafiche:
- linearizzazioni;
- carta semi- e doppio-logaritmica.
- Giocando con un ombrello:
- Perché è più facile tenere in equibrio sulla punta del dito un'ombrello che una penna?
- Immaginiamo un ombrello con manico molto pesante (o martello): è più tenere in equilibrio l'ombrello con il manico verso l'alto o verso il basso?
- Esercizio: data una barretta di lunghezza L, posta inizialmente in verticale (equilibrio instabile), calcolare la velocità angolare iniziale in funzione della sua lunghezza (e dell'angolo di inclinazione rispetto alla verticale).
- Momenti di inerzia e funamboli.
- Perché se l'ombrello (meglio ancora una scopa) viene tenuto orizzontale sulle dita e le dita vengono avvicinate queste non scivolano simultaneamente lungo l'ombrello (o il manico di scopa), ma si alternano? Verso quale punto convergono?
- Ancora sull'origine del metro,
con spunti per ulteriori approfondimenti.
- Pdf della presentazione.
- Articolo su Progetto Alice (2008, Vol. IX, nr. 27).
- Altri riferimenti.
- In particolare (questa puntata):
- Tito Livio Burattini, il metro cattolico e il peso cattolico.
- Il peso dalla lunghezza: dal piede romano (29.7 cm) alla libbra romana (327.45 g); dal metro al chilogrammo.
- La convergenza metrologica del 1790 (Francia, USA, Inghilterra, Germania, etc) verso il pendolo del secondo (a 45 gradi, al livello del mare).
- Unità di lunghezza basate sulle dimensioni della Terra.
- Miglio nautico e sua convenienza per la navigazione.
- Misure di latitudine e misure di longitudine. Il problema della longitudine, ovvero della sincronizzazione di orologi lontani.
- Importanza strategica della conoscenza della longitudine.
- Determinazione dell'ora locale.
- La sfida astronomi-orologiai del '700.
- Lune di Giove: scoperta di Galilei e importanza filosofica, fisica e pratica ("orologio celeste" per sincronizzare orologi lontani).
- Prima evidenza della velocità finita della luce (Rømer, 1676).
- Argomenti della commissione pro e contro il pendolo del secondo.
- Il decimilionesiomo del quarto di meridiano.
- La conoscenza del meridiano nel 1741: da Eratostene alle misure del 1740.
- L'idea di Eratostene e la prima stima della dimensione della Terra.
- A proposito (Aristarco di Samo):
- Stima delle dimensioni relative Terra/Luna dall'ombra
proiettata sulla luna durante un'eclissi.
-> Esercizio: provare a farlo da questa immagine (copia di http://andreapagliantini.simplicissimus.it/files/2008/08/eclissi-di-luna.jpg) - Stima della distanza Terra-Luna, osservando tempo
di passaggio della Luna nel "cilindro d'ombra"
della Terra durante un'eclissi e trovando
dT.L./RT = 60,
in buon accordo con il valore attuale.
(Vedi dettagli, ad esempio,
qui.)
Esercizio: trovare distanza Terra-Luna conoscendo il tempo di transito della luna nel cono d'ombra (e qualche altra informazione che oramai assumiamo abbastanza ben nota). - distanza Terra-Sole mediante misura di triangolazione
(quando la luna sta esattamente ad un quarto - es. ieri)
(Nota: in questo caso il valore non venne corretto in quanto sarebbe servita una misura di angoli molto più accurata di qualla che poteva effettuare)
- Stima delle dimensioni relative Terra/Luna dall'ombra
proiettata sulla luna durante un'eclissi.
- Tecniche di triangolazione: principio e semplici applicazioni (triangoli rettangoli; teorema dei seni).
- Schiacciamento della Terra: origine fisica, influenza sulle misure del meridiano e stima del 'flattening' (appiattimento).
- Raggio medio della Terra: ambiguità di definizione; raggio della sfera di pari volume.
- Approfondimenti:
- Per avere un'idea della confusione in Francia prima dell'adozione/imposizione del metro
- Dava Sobel, Longitudine.
- Giulio Verne, L'isola misteriosa
Per gli argomenti scientifici toccati, vedi, ad es. - Lune di Giove, fenomeni medicei e misura della longitudine.
- Congiunzione, opposizione, etc.
- Ole Rømer.
- Altri interessanti esercizi/attività dallo stesso sito di Rømer e la velocità della luce.
- Rete Eratostene.
- Per concludere:
- Lunghezza equivalente di pendolo com sfera di raggio finito: vedi qui.
- Un primo sguardo collettivo ai dati del volano (inclusa velocità e accelerazione)
- Procedere con l'analisi della prima discesa (vedi dettagli su appunti della scorsa lezione).
- Interessante anche lo studio dal primo rimbalzo (ovvero da quando
il peso comincia a risalire) al secondo rimbalzo:
-> risposta alla domanda sull'accelerazione della palla lanciata verso l'alto. - Piccola variazione di volano.R: volano1.R, che calcola le accelerazioni e salva i plot su file, ad esempio:
- Fine storia del metro, in particolare:
- La nuova missione del meridiano (1792-1798).
- Irregolarità dei diametri terrestri e concetto di geoide.
- La reazione americana al metro e l'impasse americano nei decenni successivi, fino all'adozione delle vecchie unità inglesi.
- Dall'abbandono del meridiano alla definizione del metro legato a fisica moderna.
- Il chilogrammo, l'unica delle tre grandezze fondamentali del vecchio mks ancora ancorato ad un campione fisico custodito a Parigi (immagine presa da qui):
- Alcuni commenti sulla scelta del quarto di meridiano.
- Ultimo commento sulla fortuna del secondo, percepito come ritmo naturale dagli esseri umani.
- Riferimenti e approfondimenti:
- GdA e P. Agnoli, "Why does the meter beat the second?" .
- Rete Eratostene.
- Mappa delle triangolazioni per la misura dell'arco di Meridiano del 1792-1798 (in nero le due basi trigonometriche).
- Qualche sito sul geoide: www.vialattea.net, wikipedia EGM96, wikipedia Geoid (del geoide si richiede di sapere la definizione e l'ordine di grandezza delle deviazioni rispetto all'ellissoide).
- Festeggiamenti del meridiano verde (14 luglio 2000).
- Ken Alder, La misura di tutte le cose
(The Measure of All Things).
[ Presentazione del libro: 2003 Dibner Library Lecture (inglese, pdf). ] - Denis Guedj, Il metro del mondo.
- Soluzione numerica del lancio di foglio di carta accartocciato
(tanto per rivenderla come soluzione di un esperimento con
materiale estremamente povero...):
- Script in R: gittata1.R
- Variazioni sul tema:
- La gittata e l'altezza massima raggiunta (così come lo spazio percorso sulla traiettoria) sono calcolati come valori massimi degli array in cui sono immagazzinate le x e le z e risentono quindi di un errore di 'discretizzazione'. Provare a fare di meglio mediante interpolazione/estrapolazione.
- Nell'algoritmo si usa l'accelerazione calcolata per il valore di velocità dello step precedente. Come migliora se si usa il valore calcolato in vm? (Provare a confrontare con soluzione esatta, caso beta.su.m=0, con dt grandi e vedere se l'accuratezza dipende dall'algoritmo.)
- A questo punto, dovreste essere in grado di risolvere
numericamente:
- pendolo semplice senza l'approssimazione per piccoli angoli;
- pendolo semplice tenendo conto di angoli qualsiasi e attrito dell'aria: bozza_pendolo.R, script appena abbozzato: ->completare.
- barretta libera di ruotare intorno ad asse orizzontale posto ad un suo estremo (per angoli qualsiasi -> continuazione del problema dell'ombrello).
- Note sui grafici orari e sulle aree 'sotto' le curve a(t) e v(t). In particolare: calcolo di aree, integrali e metodi numerici.
- Torniamo ai pianeti orbitanti.
- Mele che cadono e luna che gira: verificare che l'accelerazione della mela e quella della luna vanno fra di loro come gli inversi dei quadrati delle distanze dal centro della Terra. (Importanza per Newton della conoscenza della distanza Terra-Luna!)
- Figura dai Principi in cui Newton mostra che si passa con continuità dalle mele che cadono e alle palle di cannone sparate orizzontalmente fino ai satelliti che orbitano. (Il sito contiene anche una interessante animazione, ad eccezione delle orbite che attraversano la Terra...)
- Problema: satellite in orbita radente intorno alla Terra (ovviamente trascurando l'aria) -> calcolare velocità e periodo.
- Altro problema che apparentemente non c'entra niente con il precedente: si immagini un pozzo che passa per il centro della Terra; descrivere il moto di un oggetto lasciato cadere in tale pozzo.
- Altra cosa che sembra c'entri ancora meno: ripassarsi molla e sue oscillazioni (faremo misure di laboratorio).
- Uso di carta logaritmica: carte_log.R
- Esercitarsi con R e quindi provare a:
- riportare i punti a mano sulla carta millimetrata;
- ricostruire i parametri degli esponenziali e delle leggi di potenze dai grafici linearizzati su carte log.
- Esercitarsi con R e quindi provare a:
- Misura di velocità di un oggetto che scivola/rotola
su un tavolo dalla misura della 'gittata'
(distanza del punto di arrivo sul pavimento rispetto
alla base del tavolo).
- Nota didattica: formule del moto uniformemente accelerato ricavate con il metodo delle aree.
- Prime considerazioni sugli urti (in particolare urto elastico con m2/m1 -> 0).
- Esperimento con righello lasciato cadere da uno studente
e ripreso al volo da un altro:
- misure di tempi di riflesso (ritardo medio e dispersione) usando accelerazione di gravità (il righello viene lasciato cadere a sorpresa);
- stima dell'errore in misure di cronometraggio (il righello viene lasciato cadere al 'via' di un-due-tre-via in successione rapida e ben cadenzati)
- Misure di tempi di riflesso mediante programma: -> vedi lezione 3 (fare a casa)
- Esperimenti con guide scanalate.
- Guida tenuta fra due dita (o matite, o altro), insomma
come 'esperimento' con ombrello della
5.a lezione:
- Misura della successione delle posizioni di arresto di un 'dito' rispetto al centro della guida.
- Valutazione del rapporto fra i coefficienti di attrito statico e dinamico.
- Piano inclinato:
- Misura del coefficiente di attrito statico dall'angolo di 'stacco'.
- Confronto fra discesa di pallina (o cilindro)
che ruota senza scivolare e corpo che scivola:
chi arriva prima?
Spunti per ripasso:- Considerazioni energetiche e implicazioni sulla velocità finale.
- Tabella di analogie fra moto traslazionale e moto rotazionale intorno ad asse fisso.
- Misura dei tempi di discesa in funzione di distanza e angolo.
- Misura di g e di μD
dalle misure di tempo di discesa in funzione dell'angolo,
riportando la l/(t^2*cos(alpha)) in funzione di
tan(alpha) (a lezioni erano state date indicazioni errate, pensando
all'analisi della velocita' in funzione dell'angolo, vedi script):
- Script R per studio di fattibilita' dell'esperimento, con indicazioni su come analizzare i dati (basta sostituire le array alpha[] e td[] con i valori misurati): piano_inclinato.R
- Nota: nello script si fa parla (e non solo) di fit e minimi quadrati. Dal contesto si capisce cosa sono. Ovviamente, a tempo debito, affrenteremo il tema in dettaglio.
- Possibile variazione sul tema:
- Si immagini di posizionare il piano inclinato su un tavolo e fare in modo che, mediante opportuno raccordo, l'oggetto, dopo essere scivolato sulla guida, scivoli su un tratto di tavolo e quindi salti sul pavimento: -> stima della velocità finale dalla 'gittata' (vedi sopra).
- È fattibile? Chi vuole ci pensi e, se ha i mezzi, sperimenti.
- Guida tenuta fra due dita (o matite, o altro), insomma
come 'esperimento' con ombrello della
5.a lezione:
- Inoltre, come applicazione di cose viste a lezione alla
a barra libera di ruotare su piano verticale, inizialmente
posta verticale, con baricentro
al di sopra dell'asse di rotazione (insomma, righello posto verticalmente
con matita infilata in un buco in basso):
- Discussione qualitativa sulla variazione di velocità angolare in funzione dell'angolo usando il metodo delle aree.
- Valutazione della velocità in funzione dell'angolo da bilancio energetico.
- Discussione qualitativa e quantitativa su equilibrio stabile (baricetro) sotto l'asse di rotazione) ed equilibrio instabile (caso opposto).
- Eventualmente fare un salto in lab se manca qualche dato riguardante l'esperienza del volano)
- Chi, invece, avesse saltato tale esperienza (lezione 4), è invitato a recuperarla quanto prima, eventualmente facendosi accompagnare (o per lo meno facendosi dare istruzini dettagliate da chi era presente).
- E non perdete di vista la Luna
e Giove (vedi ad es.
qui),
in attesa di raggiungere Marte.
A proposito, perché “gobba a ponente, luna crescente”? - Infine, ripassarsi the five fatal errors...,
in particolare:
- Fantasy of the Miracle Finish
- Fantasy of the Soft Hearted Professor
- A proposito di cambio da ora legale a ora solare: se ne era tenuto conto nel calcolo del periodo di rotazione della luna?
- L'oggetto strano che sale invece di scendere... (solido a doppio cono su guide lineari divergenti).
- Ancora sulle fasi della luna.
- Qualche problemino di cinematica:
- Cagnolino che va avanti dietro mentre il padrone torna a casa.
- Oggetto lasciato cadere da una certa altezza arriva a 3m/s.
Altro oggetto viene lanciato a 4 m/s dalla stessa altezza.
A che velocita' arriva?
(Ricorda: Forza×Δx = ΔEc, mentre Forza×Δt = Δp. Quindi una forza che agisce su uno spazio costante provoca una variazione di v2, mentre una forza che agisce per un tempo costante prova una variazione di v.) - Velocità media per percorrenze con spazi uguali e con tempi uguali.
- Pozzo per il centro della Terra.
- Dipendenza dell'accelerazione dalla distanza dal centro.
- Forza gravitazionale fra sfera omogenea e punto materiale.
- Accelerazione di gravità sulla superficie
terrestre, g = 4/3 π ρ G R, deriva da F = GMm/R2.
Perché possiamo considerare tutta la massa della Terra nel suo centro?
- Calcolo con 'forza bruta': sommare tutte le forze su m dovute a tutti
gli elementi di massa della sfera terrestre.
- Dettagli sull'integrale: versione ps e pdf.
- Notebook di Mathematica
(cliccare con tasto destro e scaricarlo).
Versione html (solo per vedere conti e risultato).
- Uso del teorema di Gauss
- Teorema di Gauss è generalmente conosciuto solo per campo elettrico: Φ(E) = ΣiQi/&epsilon0.
- Analogia forza elettrica e forza gravitazionale: entrambe vanno come 1/R2; in entrambe i contributi sono additivi; le masse nella formula della forza stanno per 'cariche' gravitazionali.
- Massa inerziale e massa gravitazionale.
- Forza di Coulomb <--> forza di Newton: k(=1/4π&epsilon0) <--> -G.
- Campo gravitazionale G (in analogia a campo elettrico): forza per unità di massa: corrisponde ad accelerazione di gravità in quel punto.
- Teorema di Gauss nel caso gravitazionale: Φ(G) = -4π G ΣiMi.
- Applicazione del teorema di Gauss gravitazione a superficie gaussiana
sferica di raggio R, con masse confinate in sfera omogenea di raggio
RT <= R.
Usando simmetria sferica:
4πR2G = -4π G MT --> G = -G MT/R2 --> FG = -G MTm/R2
- Massa m all'interno della Terra:
- Gli elementi di massa di ciascun guscio sferico omogenero
e concentrico con la superficie terrestre danno risultante
delle forze nulla.
- Questo può essere provato direttamente facendo l'integrale (vedi sopra - per il caso generale vedi il teorema dei gusci, la cui dimostrazione è ovviamente fuori programma),
- oppure si può pensare a tutte le coppie di elementi di massa opposte: ovunque sia m all'interno del guscio, la distanza viene compensata dalla diversa massa intercettata da coni opposti (vedi figura originale dai Principi di Newton, Sec. XII, prop. LXX, Th. XXX - il testo è una traduzione, in quanto notoriamente il Principia furono scritti in latino).
- Semplice 'dimostrazione' della legge A prop. d2 mediante lavagna luminosa.
- Gli elementi di massa di ciascun guscio sferico omogenero
e concentrico con la superficie terrestre danno risultante
delle forze nulla.
- Calcolo con 'forza bruta': sommare tutte le forze su m dovute a tutti
gli elementi di massa della sfera terrestre.
- Accelerazione di gravità sulla superficie
terrestre, g = 4/3 π ρ G R, deriva da F = GMm/R2.
Perché possiamo considerare tutta la massa della Terra nel suo centro?
- Forza totale al centro (perchè il corpo non viene lacerato se è tirato da tutte le parti?)
- Analogia con moto pendolo.
- Da fare (interessante): confronto fra moto di un oggetto in tale pozzo e di oggetto in orbita radente.
- En passant (abbiamo cominciato discutendo sul fatto che non siamo schiacciati
dall'enorme pressione terrestre di 1kg/cm2):
- Pressione e sua unità di misura (Pa).
- Barometro di Torricelli. Quanto dovrebbe essere alto se si sostituisse l'acqua al mercurio?
- Rivedersi: principio di Archimede e legge di Stevino.
- Coperture gonfiabili per piscine, ventose etc.
- Otto von Guericke e gli emisferi di Madgeburgo (vedi qui o qua).
- Sfogliando una relazione di laboratorio di un terzo scientifico...
- Documentazione del lavoro sperimentale.
- Misura di volume tramite "affondamento" (Eureka!).
- Cifre significative (ne riparleremo!).
- Alcune regolette per fare i grafici.
- Barra oscillante per angoli qualsiasi
barra_oscillante_test.R
[Per eseguirlo: source("barra_oscillante_test.R"), eventualmente settando la variabile save.plots a FALSE se vogliono solo guardare i plot. Si ricorda che dopo l'esecuzione di uno script sono a disposizione da console tutti gli oggetti definiti durante la sessione - controllare con 'ls()'.] - Importanza del metodo di integrazione numerica
e dell'intervallo di discretizzazione (dt). Studiarsi lo script
e fare delle prove.
Ecco alcuni plot: - Si noti l'instabilità del primo metodo per tempi lunghi.
- Avendo appurato che il secondo metodo è decisamente migliore, si notino le differenze fra le piccole oscillazioni e le grandi oscillazioni (in particolare nei plot di angolo in funzione del tempo e di velocità angolare in funzione dell'angolo).
- Si trasformi questo script in una function che calcola i tempo di passaggio per la verticale, da cui il periodo, in funzione dell'angolo.
- Si aggiungano i comandi per chiamare questa function per diversi angoli
e si grafichino i risultati.
- Quanto vale il periodo nel limite α0 -> π/2?
- Note sui modellini per riprese cinematografiche (edifici, navi, aerei, etc.): l'evoluzione temporale dei modelli è più rapida di quella degli oggetti in scala reale.
- Note su R:
- per cambiare la directory di lavoro: setwd("nome_directory");
- per controllarla: getwd();
- per aprire un file che sta in una directory qualsiasi, dare l'indirizzo completo (esempio: "D:\dir1\dir2\dir3\file.txt");
- è auspicabile che un certo giorno, non troppo lontano, tutti abbiano installato R e abbiano cominciato ad eseguire/modificare gli script.
- Infine: per favore, inviare per email (o portare a lezione) i
dati del piano inclinato, con
file txt, mediante una tabella a tre colonne, con valori separati
da spazio e usando il punto per indicare i decimali, con
b h t,
ove b e h sono base ed altezza del triangolo dal quale valutiamo l'inclinazione e t è il tempo cronometrato.
Misure ritenute chiaramente errate (ad es. se uno si ricorda che si era distratto, etc.) possono essere scartate.
- Soluzione/commenti su problemi in corso, in particolare:
- Siamo tutti pronti con R?
- Dimensione Luna da
foto di eclisse:
metodo grafico
a mano; metodo grafico al computer; metodi geometrici
(cerchio per tre punti o teorema di Euclide).
- Riepilogo su misure astronomiche antiche (vedi lezione 5).
- Riguardo alla misura quando la luna e' ad un quarto: attenzione all'illusione delle percezione della volta celeste. Se luna è esattamente a sud, e quindi sole sta tramontando, i raggi che arrivano verso di noi e quelli che raggiungono la luna sono 'circa' paralleli (molto paralleli!). L'impressione naïve è invece che, essendo sole sulla linea dell'orizzonte, esso illumini la luna 'dal basso' (e quindi non si capisce come possa essere illuminata esattamente 'di lato')
- A proposito, di misure astronomiche mediante triangolazioni: unità astronomica e parsec (e megaparsec). Conversioni in km e in anni luce. Quanto è grande la nostra galassia? ('diametro' e 'spessore'). Dove siamo noi rispetto al suo centro?
- A proposito di triangolazione: due angoli determinano la forma del triangolo; dopodiché un qualsiasi lato ne determina la scala assoluta.
- Pozzo per il centro della Terra e orbita radente: relazione fra le due. Relazione fra accelerazione e coordinata delle proiezioni di un moto circolare uniforme. 'ω' non è sempre una velocità angolare! (Ma è tuttavia legata al periodo da T=2π/ω: concetto di pulsazione). In particolare - capita a molti! - non si confonda ω con la velocità angolare dell'oscillazione del pendolo.
- Un po' di idrostatica:
- Commenti su misure di volume per affondamento ("Eureka!"): importanza delle misure per differenza.
- Misure di massa. Intercalibrazione degli strumenti.
1 strumento accurato ma costoso + 100 strumenti economici + calibrazione = 100 strumenti accurati ed economici - Linearità degli strumenti.
- Misura della densità delle 'caramelline di vetro'.
- Qualcuno mi manda i dati? (Tabella a due colonne, senza header, con V e Mtot, rispettivamente in ml e g, ove la prima riga è data da V0 e '0'.)
- Massa totale diviso volume totale;
- Grafico con R di massa Vs volume ('Vs' sta per 'versus') seguito da fit lineare mediante 'lm()'.
- Esperimento del bicchiere capovolto.
- Barometro di Torricelli, vedi breve presentazione qui.
- Modello (in scala ultraridotta) di un barometro ad acqua. Coma farne uno funzionante.
- Concetto di sensibilità di uno strumento:
- Sensibilità di un ipotetico barometro ad acqua e di uno a mercurio.
- Dipendenza della sensibilità di un termometro a mercurio da dimensioni del bulbo e dalla sezione del capillare.
- Principio di Archimede e legge di Stevino. Vasi comunicanti e principio di Pascal.
- Peso su piatto galleggiante Vs peso affondato e piatto vuoto galleggiante: in quale caso è maggiore il livello dell'acqua?
- "Pesa più un kg di polistirolo o un kg di piombo?"
Se intendiamo forza peso a parità di massa, la domanda è del tipo "Quanti furono i sette re di Roma". Ma essa può essere essere anche seria, intendendo, più precisamente:- 1) È maggiore la sensazione di peso se si tengono in mano i due oggetti? (Un po' come la diversa percezione fisiologica ingannevole che si ha toccando oggetti alla stessa temperatura, ma aventi diverse conducibilità e capacità termica. Nel caso del peso la percezione è legata alla pressione sulla mano.)
- 2) Se le due masse sono esattamente uguali, in quale caso la bilancia indicherà un valore maggiore?
- 3) Se le due pesate danno lo stesso valore, quale sarà la massa maggiore?
- Quanto 'pesa' (nel senso di quanto è 'massivo') un metro cubo di acqua? Uno di piombo? Uno di polistirolo? (Cercare sul web.)
- Valutare la massa un metro cubo di aria? (-> Ripasso dell'equazione di stato dei gas perfetti.)
- Progetto di misura di densità dell'aria, ... con qualche passo falso.
- Tornando alla domanda curiosa di sopra: se un blocco di polistirolo indica su una bilancia 1000.0 g, quanto vale in realtà la sua massa?
- Introduzione alla logica dell'incerto e all'inferenza probabilistica: "Imparare dall'esperienza".
- Introduzione al problema delle `sei scatole' dalla quale
ne è stata estratta una a caso:
- probabilità della composizione della scatola;
- probabilità di estrarre da essa una pallina bianca;
- probabilità delle sequenze WW, WB, BW, BB (White/Black) nelle due prime estrazioni (con reintroduzione).
- Risultato dell'esperimento: 10 bianche consecutive:
- Come variano le probabilità di composizione e di esito W dopo ogni osservazione?
- In particolare, quanto vale la probabilità di osservare una pallina bianca all'undicesima estrazione?
- Analisi dati del piano inclinato:
- bozza_analisi_piano_inclinato.R: completare, provare e riprovare e trasformare in uno script che faccia l'intera catena di analisi.
- Qualcuno non ha ancora inviato i dati sperimentali.
- Infine: ci stiamo 'lasciando dietro' Giove! Ultime opportunità per effettuare le osservazioni utili per la stima di differenza di velocità angolare rispetto a lla Terra (ricordarsi del cambiamento ora legale -> ora solare).
- Determinazione empirica del baricentro di una
figura piana, anche irregolare (figura strana, anche con buchi,
ritagliata su un cartoncino).
- Caso di un triangolo: il baricentro corrisponde con il ... 'baricentro', inteso come punto di incontro delle mediane.
- Dimostrazione considerando tante strisciettine parallele al lato diviso in due dalla mediana: il baricentro di ogni striscia è a metà e i vari baricentri sono allineati fino al vertice opposto: quindi il baricentro deve giacere su ciascuna mediana.
- Introduzione a probabilità e incertezze di misura.
- “Fare scienza”: osservazioni passate e osservazioni future mediate da teorie/modelli.
- Rappresentazione grafica in termini di 'reti causali' (cause-effetti).
- Ragione profonda delle incertezze.
- “Il problema essenziale del metodo sperimentale”
- Toy model delle 'sei scatole' e sua rappresentazione grafica (inclusi 'report' che possono mentire e 'modo di preparazione' della scatola).
- Confronto con scatola di composizione nota (5W, 5B): paradosso di Ellsberg.
- Rappresentazioni grafiche del problema dei fit (con errori di misura eventualmente su entrambi gli assi).
- Approccio falsificazionista e suoi limiti.
- Variazioni statistiche a tale approccio, con connessi problemi logici (e talvolta anche pratici).
- Errori nelle inversioni 'abusive' di probabilità: test dell'AIDS.
- Problema di fondo dell'approccio frequentista (quello ancora dominante nell'analisi dei dati): non c'e' spazio per il concetto di probabilità delle cause.
- Cos'è la probabilità (e cosa sicuramente non è).
- Regole di valutazione basate su casi favorevoli e casi possibili e sulle frequenze relative.
- Probabilità come >“grado di fiducia” (o espressioni analoghe).
- Slides presentazione: prima parte.
- Analisi dati densità, alla luce di quanto visto oggi: imparare
a modellizzare i problemi, dandone una rappresentazione grafica e tenendo controllo
le varie assunzioni sottostanti, molto spesso implicite.
- In particolare, ipotesi sotto il modello lineare massa Vs volume (quando non vale? Aria, mucchio di sabbia, etc. -> la densità è un concetto differenziale e locale).
- Alcune delel ipotesi alla base dei 'normali' fit:
- relazione deterministica fra le grandezze fisiche μx e μy con, in particolare, μy = fy(μx,θ), con θ il set di parametri;
- connessione causale deterministica μx->x (no errori sulle ascisse);
- connessione causale probabilistica μy->y ("errori solo sulle ordinate")
- Nel caso di fit lineari fy(μx,θ) = c + m*μx, con c e m intercetta e 'pendenza' ('slope').
- Script R: densita.R
(Come consueto, ci sono alcune cose non ancora viste a lezione, sempre con l'idea che si impara a fare soltando facendo).
- Ancora un po' di meccanica dei corpi in rotazione.
- Differenze di comportamento di uovo fresco e uovo sodo messi in rotazione con le mani.
- Ancora richiamo su leggi cardinali della meccanica (momenti delle forze e momenti quantità di moto) e sulla peculiare particolare del momento di inerzia di dipendere dalla distribuzione della masse.
- Esperimento dello sgabello girevole con masse allontanate/avvicinate da/a asse di rotazione (-> ballerine, pattinatori e tuffatori).
- Proprietà vettoriali di momento della quantità di moto e di momento della forza, mostrate con la ruota girevole.
- Ancora sulla mediana come 'luogo dei baricentri delle striscioline
paralelle al lato equiripartito da essa'.
- Dimostrazione fisica del fatto che il baricentro
divide la mediana in due parti che stanno fra di loro
come 2 a 1 (ovvero il baricentro sta a 2/3 della
mediana, a partire dal vertice):
- il baricentro è dalla media pesata, ove i pesi sono le masse.
- chiamiamo x la coordinata lungo la mediana a partire dal vertice e l la lunghezza della mediana;
- il baricentro lungo tale coordinata è dato da (Int_0^l x dm) / (Int_0^l dm), ove “Int_0^l” sta per “integrale da 0 a l”;
- le masse infinitesime dm sono proporzionali alla distanza
dal vertice e alla larghezza dx,
ovvero dm = k x dx (ove k è
da densità per spessore delle striscioline, assunti costanti);
(Nota: alla lavagna era stato scritto erroneamente dm = k dx !) - ne segue che il centro di massa è situato a 2/3 di l.
- Dimostrazione fisica del fatto che il baricentro
divide la mediana in due parti che stanno fra di loro
come 2 a 1 (ovvero il baricentro sta a 2/3 della
mediana, a partire dal vertice):
- En passant, suggerimenti sull'insegnamento
della trigonometria:
- evitare di cominciare con “dicesi cerchio trigonometrico...” etc.;
- meglio cominciare con esempi di triangolazione basati su triangoli rettangoli simili,
- ... dando dei nomi ai vari rapporti che si incontrano nei problemi e che dipendono soltanto dall'angolo.
- ... e ancora:
- programmi Gnu/Linux sotto Windows (inclusi compilatori!):
cygwin:
- Lista di pacchetti (i compilatori C, C++, Fortran, etc. si chiamano gcc, gcc-g++, gcc-g77, etc.)
- se lo installate, selezionate anche ImageMagick (lo useremo per creare delle gif animate!).
- programmi Gnu/Linux sotto Windows (inclusi compilatori!):
cygwin:
- Continuazione dell'introduzione a probabilità e incertezze di misura
(slides):
- Probabilità legata allo stato di informazione del soggetto ce la valuta: è soggettiva.
- Probabilità sempre condizionata.
- I due problemi delle tre scatole, con conduttore
e due o un solo giocatore: rilevanza dello stato
di informazione per la valutazione
della probabilità (la mera descrizione della situazione fisica
non è sufficiente).
La variante con un solo giocatore è nota come Monty Hall problem,- una eccellente spiegazione del quale (anche se la fa un po' lunga) si trova su YouTube,
- mentre su questo spezzone dal film 21 il problema non ha soluzione univoca, in quanto il prof. non dice esplicitamente che il conduttore ha intenzione di aprire una porta con una capra (anche se la cosa potrebbe essere sottintesa, in quanto dice almeno che sa dov'è il premio).
- È molto facile incontrare gente
(o pubblicazioni) che formulano male il problema e poi pretendono che
la soluzione corretta sia che quella di cambiare!
- vedi ad esempio
- quella che sembra la prima formulazione
che ha raggiunto il grande pubblico (si dice che sa, ma non anche
che vuole);
(per l'attuale versione ufficiale del problema, inclusi interessanti commenti vedi qui.) - il volumone Introduction to probability,
sponsorizzato dall'American Mathematical Society
(versione pdf,
vedi pag. 137).
(Se la citazione dal Parade Magazine riportata nel libro è corretta, sembra che nella prima versione del problema non era detto nemmeno che sapeva e che “Marilyn clearly expected her readers to assume that the game was planned in this manner”...).
- quella che sembra la prima formulazione
che ha raggiunto il grande pubblico (si dice che sa, ma non anche
che vuole);
- Una buona spiegazione del Monty Hall è anche contenuta ne Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte, di Haddon Mark, un libro assolutamente raccomandabile, soprattutto ad insegnanti di matematica e fisica, per le pregevoli chicche ivi contenute:
- Ruoli della scommessa coerente e della 'calibrazione' rispetto a 'standard'.
- Soggettività Vs arbitrarietà
- Le quattro regole di base della probabilità:
- nota sul significato della 'formula della probabilità condizionata';
- non confondere incompatibilità con indipendenza.
- Inferenza probabilistica
(imparare dall'esperienza usando la teoria della probabilità):
- fattore di riaggiornemento della probabilità;
- teorema di Bayes:
- prior (probabilità a priori);
- posterior (probabilità a posteriori);
- P(Ej|Hi) come "risposta dell'apparato" ('likelihood', o verosimiglianza - attenzione!!).
- Uso sequenziale della 'regola di Bayes'.
- Applicazione al problema delle sei scatole:
- ->Continuare a casa,
possibilmente con script R per automatizzare
i conti, a mano a mano che si eseguono le estrazioni.
- In particolare, analizzare la sequenza di 10 bianche consecutive in 10 estrazioni (lezione 9).
- Provare a riprodurre a casa le 'sei scatole' e a fare estrazioni (al posto delle 'palline' bianche e nere si possono usare anche numeretti della tombola, divisi in pari e dispari).
- Provare a fare la storia inferenziale e predittiva usando i dati della sequenza delle 100 estrazioni contenute qui.
- ->Continuare a casa,
possibilmente con script R per automatizzare
i conti, a mano a mano che si eseguono le estrazioni.
- Per chi è interessato ad approfondire:
- Inferenza probabilistica.
- Teorema di Bayes e inferenza Bayesiana (o semplicemente probabilistica): imparare dall'esperienza facendo uso della teoria della probabilità.
- Ruolo cruciale della probabilità soggettiva in tale approccio.
- Soluzione del problema dell'AIDS.
- Aggiornamento dei rapporti di probabilità ('bet odds') mediante il fattore di Bayes.
- Importanza di avere almeno due ipotesi (per ciascuna delle quali siano
modellizzate le prob. degli effetti!) per poter riaggiornare
la probabilità:
- -> il peccato originale dei test di ipotesi:
pretendere di dire qualcosa su H0
senza specificare chiaramente una o più ipotesi alternative,
incluse le loro prior!
Si noti che non è sufficiente dire che “l'ipotesi alternativa sia `naturalmente ed implicitamente' l'ipotesi opposta ad H0”, in quanto oltre a P(E|H0) serve anche P(E|anti-H0), la quale non è connessa in alcun modo a P(E|H0)!
- -> il peccato originale dei test di ipotesi:
pretendere di dire qualcosa su H0
senza specificare chiaramente una o più ipotesi alternative,
incluse le loro prior!
- Commento sull 'prior nascoste' (uniformi!) su cui si basano le 'inversioni abusive' della probabilità e molti metodi statistici spacciati per 'oggettivi'.
- Importanti lezioni dall'approccio probabilistico:
- Non ha senso di fare un 'test' su una singola ipotesi, se non si prendono in considerazione ipotesi alternative;
- prior soggettive + aggiornamento oggettivo -> posterior altamente intersoggettive se persone razionali e disposte a cambiare opinione analizzano gli stessi dati.
- Analisi dell'esperimento delle 'sei scatole':
- Storie inferenziali e predittive.
- Confronto P(W|dati) con f=#W/#ntot
(frequenza relativa):
- Motivo per cui l'approccio probabilistico converge
più rapidamente ed è esente da
contraddizioni:
induzione mediata da teoria.
- Motivo per cui l'approccio probabilistico converge
più rapidamente ed è esente da
contraddizioni:
- Cosa succede se si cambia la modalità di preparazione della scatola ('uniforme' Vs 'binomiale')
- Simulazioni di sequenze mediante R (provare
a riprodurre lo script - non sarà
messo in rete!).
- Variazioni sul tema.
- Complicazioni del problema:
- osservazione mediata da 'intermediario' che può mentire (es. strumento): Oi->Ri, ove Oi e Ri stanno, rispettivamente, per osservazione i-ma e 'report' i-mo.
- incertezza sullo stato di preparazione: Prep->Box, ove i possibili 'stati' (modi) di Prep sono 'uniforme' e 'binomiale'.
- Reti bayesiane:
- variabili e loro stati possibili (ad es. Oi può essere B o W, etc.);
- nodi e link (deterministici/probabilistici);
- genitori e figli ('parents' and 'children');
- propagazione dell'evidenza attraverso la rete (aggiornamento delle probabilità alla luce di variabili aventi stato ben noto;
- importanza concettuale per la modellizzazione dei problemi deduttivo/inferenziali;
- importanza pratica grazie a software opportuno.
- Problema delle sei scatole, con variazioni sul tema, analizzato mediante
la Versione
lite (gratuita, con funzionalità limitata)
di HUGIN:
- rete bayesiana riportata nelle slides della lezione nr. 10;
- differenza fra 7 osservazioni W e 7 report W;
- probabilità di 'mentire' dipende non solo dalla prob. di mentire del singolo intermediario, ma anche da cosa hanno detto gli altri (!);
- prob. della composizione della scatola e dei modi di preparazione a seconda che si abbia l'informazione dei colori veri delle palline o ai loro 'report;
- caso di 6 report W e 1 B, confrontato con 6 report W e 1 'colore certo' W.
- 'blocco dell'evidenza' dovuto a nodi aventi uno stato ben preciso (es. se la scatola ha un contenuto noto, allora i 'genitori' e i 'figli' di Box sono disaccoppiati).
- Altro software per reti bayesiane:
- programma 'open source' (con pro e contro rispetto a HUGIN): JavaBayes (vedi anche esempi qui)
- un altro programma commerciale, con una funzionalità simile a quella di HUGIN e di cui esiste altrettanto una demo scaricabile (solo versione per Windows, ma funziona bene anche sotto Linux mediante Wine): Netica.
- Numeri incerti ('variabili casuali' - nome fuorviante,
soprattutto nell'inglese 'random variables'):
- Rivedersi concetti di base riguardo funzioni di probabilità e funzioni densità di probabilità (p.d.f), incluse distribuzioni elementare (in particolare, binomiale e gaussiana) e i loro 'riassunti' (media, varianza, etc), oltre che i teoremi più importanti (per noi), come valore atteso e varianza di combinazione lineare di variabili casuali e teorema del limite centrale (dato il tipo di corso non interessano le dimostrazioni, ma gli enunciati, con le ipotesi sottostanti, e le applicazioni).
- Teorema di Bayes per funzioni di probabilità e per funzioni densità di probabilità.
- Tipico problema inferenziale nell'ambito delle misure di grandezze fisiche: f(μ|x,I) \propto f(x|μ,I) f(μ|I) , ove '\propto' sta per 'proporzionale a (simbolo LaTeX).
- Inferenza sui valori di grandezze fisiche: approccio
al problema mediante reti bayesiane. Esempi:
- valore vero ignoto ('mu') e 5 osservazioni sperimentali: mu_5x.png (si assume esattamente nota la risposta dello strumento);
- valore vero ('mu') e deviazione standard ignote ('sigma'): mu_sigma_5x.png (si assume risposta dello strumento gaussiana);
- piano inclinato: inferenza di g e &mud, mediante le misure sperimentali degli angoli (in realtà mediante opportuni cateti), dei tempi e della lunghezza del piano: bn_piano_inclinato.png (si noti la differenza fra valori 'veri' e valori misurati);
- la rete del punto di precedente assume esattamente note le risposte degli 'strumenti, fra cui bisogna considerare anche i cronometristi - gli errori di cronometraggio dovuti al cronometro sono trascurabilissimi rispetto a quello dovuto al passaggio dell'informazione occhi/orecchie ->sistema_nervoso ->cervello ->sistema-nervoso ->muscoli_del_dito di chi ha eseguito le misure!). Come modificare opportunamente la rete per tener conto di errori di misura parametrizzati da gaussiane?
- Infine: niente paura,
non ci metteremo a risolvere reti complicate
di questo tipo, ma cercheremo delle scorciatoie. L'importante
è aver capito bene il problema e rendersi conto se
le scorciatoie sono percorribili (sotto opportune ipotesi),
evitando che la semplicità scada nel semplicismo.
- Ricordiamo che
- come stiamo imparando, le inferenze richiedono un certo numero di ipotesi, 'assunzioni' etc., l'uso delle quali dipende dall'esperienza e dalla migliore conoscenza della fenomenologia del problema fisico e degli strumenti di misura;
- in fondo, come diceva Laplace,
“la probabilità è
buon senso ridotto a calcolo”;
ma, come stiamo altresì imparando, il buon senso è a sua volta affinato dal calcolo delle probabilità.
- Ricordiamo che
- Un quiz, come variante dell'oggetto sul piatto o affondato
della lezione 9 (questa indicazione è
già un grosso aiuto!):
- avendo a disposizione un bicchiere di plastica, un recipiente cilidrico trasparente (anche brocca o grosso vasetto di sottaceti, etc. - non è necessario che sia trasparente, ma semplifica le operazioni), acqua q.b. e piccoli accessori (matita, nastro adesivo di carta), determinare la densità di un oggetto (o più oggetti dello stesso materiale) che entri bene nel bichiere e tale che il bicchiere rimanga a galla con l'oggetto dentro, effettuando due sole misure di lunghezza (niente bilancia!).
- Commenti sulla rete bayesiana dell'esperimento del piano inclinato presentata nella lezione precedente.
- Ancora sulle sei scatole:
- Probabilità delle sequenze WW, WB, BW e BB
nelle prime due estrazioni:
P(W1W2|B?) = P(W1|B?) × P(W2|W1,B?); - P(W2|W1,B?) ≠
P(W2|B?)!
W1 e W2 non sono indipendenti. (Se lo fossero, la conoscenza dell'esito W1 non potrebbe cambiare opinione sull'esito di W2, infatti due gereriche ipotesi sono indipendenti se P(H2|H1,I)=P(H2|I)). - Ancora commento su indipendenza e incompatibilità
(non sono sinonimi!):
in genere, se H1 & H2 = Ø (ipotesi incompatibili) implica P(H1 | H2) = 0 (altro che indipendenti!). - W1 e W2 sono invece indipendenti subordinatamente alla conoscenza della composizione della scatola.
- idem nel caso delle misure: le osservazioni X1 e X2, causate dallo stesso valore di una grandezza fisica μ, sono indipendenti se μ è noto esattamente, non lo sono se è ignoto;.
- Calcolare la probabilità della sequenza WW e, usando ragionamenti generali, ricavarsi quella delle altre tre sequenze.
- Probabilità delle sequenze WW, WB, BW e BB
nelle prime due estrazioni:
- Commenti su R: evitare il carattere '_' nei nomi delle variabili, in quanto è supportato soltanto nelle ultime versioni.
- Problema dell'ubriaco, e varianti,
come introduzione alle funzioni di probabilità
e ai loro 'riassunti'.
- Numeri incerti (ordinati), processo di Bernoulli, distribuzione gemetrica e distribuzione binomiale.
- Funzione di probabilità [f(x|I)] e funzione
cumulativa [F(x|I)]: definizioni e proprietà;
espressione di [F(x|I)] per geometrica e binomiale.
- Ricavarsi F(x|Geomp) mediante semplici ragionamenti.
- Moda e mediana.
- Commenti/ripasso su distribuzioni di probabilità
- `Riassunti' delle distribuzioni: indicatori di 'posizione' (che non sampre danno la 'posizione') e di variabilità: moda, mediana, media pesata; range, intervalli di probabilità, varianza e deviazione standard.
- Concetto di valore atteso di una variabile casuale e di sue funzioni, E[X], E[X2], E[g(X)].
- Varianza valutata come E[X2]-E2[X]
- Media pesata e deviazione standard:
- analogia meccanica (baricentro e radice quadrata del momento di inerzia);
- parametri per esprimere la previsione (probabilistica) e l'incertezza (standard) di previsione;
- media e varianza di combinazioni lineari di variabili indipendenti;
- valore atteso e deviazione standard della distribuzione di Bernoulli;
- valore atteso e deviazione standard della distribuzione binomiale ricavati dai teoremi generali applicati a n processi di Bernoulli indipendenti.
- Cenno al teorema centrale del limite ('del limite centrale'): rivederselo.
- Uso di R per probabilità e 'statistica':
- esempi di uso: vedi prob.R.
- commenti su `statistica descrittiva' e `statistica inferenziale' [e loro interferenza nell'approccio 'standard', ad esempio funzione sd() di R].
- Referenze:
- Ripasso rapido sul testo di introduzione alla probabilità che si conosce meglio.
- GdA, dispense Probabilità e incertezze di misura, vedi qui, (seguendo la traccia indicata a lezione per non perdersi) in particolare par. 6.1-6.16, 6.18-7.3.1, 8.7-8.8, 10.7 [limitatamente a variabili indipendenti] e 10.10.
- Alcune note storiche sulla difficoltà di accettazione del concetto di vuoto (orror vacui):
- Prendendo spunto da un pezzo di ghiaccio galleggiante
sull'acqua...
- Come seguito di quesiti analoghi: come varierà il livello dell'acqua quando il ghiaccio si sarà sciolto completamente?
- Spunti di ripasso/commenti su termologia:
- temperatura, quantità di calore, capacità termica e calore specifico;
- modi di trasmissione del calore;
- conducibilità termica (-> basso valore per acqua e ghiaccio: corrente del golfo; igloo; alberi di frutta protetti con ghiaccio; effetti - anche pericolosi! - di stratificazione di temperatura dell'acqua scaldata dal basso);
- termalizzazione di oggetti grandi e piccoli;
- grafico di temperatura in funzione del tempo dall'acqua da temperatura sotto lo zero (ghiaccio) all'ebollizione; significato dei punti stazionari e delle diverse pendenze sotto e sopra lo zero;
- calore latente di fusione ed ebollizione: concetti e principi di misura (e precauzioni nell'eseguire l'esperimento!).
- Ancora sulle sei scatole:
- inferenza sequenziale sulle diverse scatole -> inferenza sulle proporzioni di palline bianche: Hi <-> pi, con pi=0, 1/5, 2/5, ..., 1;
- confronto fra aggiornamento sequenziale e quello conoscendo soltanto nW e nB: stesse conclusioni;
- script R per inferenza: aggiornamenti_6boxes.R.
- Estensione da 6 a 101 scatole (o numero arbitrario grande):
- proporzione di palline bianche tende ad una continuità
- script R: aggiornamenti_101boxes.R;
- numero arbitrario di scatole;
- caso di osservazioni di sole palline bianche o sole palline nere.
- Passaggio al continuo:
- inferenza del parametro p della binomiale
(“inferenza parametrica”)
- teorema di Bayes per variabili continue;
- caso di prior uniforme;
- f(p|n,x,B), valore atteso e varianza di p; regola di successione di Laplace; significato di E[p].
- limiti per n e x grandi: f(p|n,x,B) -> gaussiana;
- esercizio sui sondaggi;
- un problemino per matematici:
- abbiamo visto che, a parte fattori non dipendenti da p, la pdf di p è del tipo pns(1-p)ni, dove ns e ni sono il numero di 'successi' e di 'insuccessi';
- ne segue che il fattore di normalizzazione deve essere l'inverso di Int01 pns(1-p)ni dp;
- Quindi le domande sono:
- quale funzione speciale ci ricorda tale integrale?
- come riscrivere quindi, in generale, f(p|ns,ni) facendo comparire tale funzione speciale al denominatore?
- come riscrivere f(p|ns,ni), notando che tale funzione speciale può essere espressa in termini di funzioni speciali Γ e che queste ultime per ns e ni interi (quali sono per definizione) si riducono ad opportuni fattoriali?
- infine, scrivere tale f(p|ns,ni) in R.
- Per dettagli, vedi 4 parte delle dispense dispense Probabilità e incertezze di misura, (vedi qui), par. 12.3 (fino a 12.3.1).
- inferenza del parametro p della binomiale
(“inferenza parametrica”)
- Esercizio per casa: caso
di risposta gaussiana dello strumento.
- Sapendo che f(x) è descritta da una
gaussiana di valore μ incognito e σ
noto esattamente, determinare f(μ|x1),
ove x1 è un valore osservato
(partendo da una prior su μ uniforme);
(ovviamente queste cose si trovano sulla sopra citata dispensa, ma provate prima a fare da soli!) - con il solito uso sequenziale sequenziale del teorema di Bayes, determinare f(μ|x1,x2,...) da una sequenza di osservazioni x1, x2, etc., usando ad esempio (per poter controllare i risultati) i seguenti valori 11.5, 12.7, 10.9, 14.1, 14.2, 15.0, 13.0, 12.2, 17.6, 13.2 e assumendo σ = 2.
- Sapendo che f(x) è descritta da una
gaussiana di valore μ incognito e σ
noto esattamente, determinare f(μ|x1),
ove x1 è un valore osservato
(partendo da una prior su μ uniforme);
- Un po' ripasso e qualche esperimento 'povero' di ottica geometrica.
- Lenti convergenti e occhiali da presbite.
- Osservazione dell'effetto di convergenza e stima della distanza focale dall'uso della legge 1/p + 1/q = 1/f (in particolare, quando si ha a disposizione una sorgente posta all'infinito, ovvero p>>f).
- Banco ottico: strumento utile per osservazioni quantitative, ma non essenziale per capire la fenomenologia.
- Legge di rifrazione della luce.
- Perché al mare `le gambe si accorciano'? Innalzamento apparente del fondo (ad es. della piscina), soprattutto se e' osservato 'da lontano' (“l'acqua del vicino è sempre più bassa”...).
- Visione binoculare stereoscopica.
- Esperimento del sollevamento del fondo di un bicchiare: per casa dimostrare che il rapporto fra profondità vera e profondità apparente è pari all'indice di rifrazione dell'acqua (per osservazione dall'alto circa normale al piano dell'acqua).
- Difetti della vista (miopia e presbiopia/ipermetropia) e loro correzione mediante lenti divergenti o convergenti.
- 'Potenza delle lenti': diottria e sua definizione a partire dalla distanza focale della lente.
- osservazione del fuoco virtuale di una lente divergente e stima della sua distanza focale.
- Considerazioni su flusso di luce e di energia: 'ombra' dietro le lenti.
- Apertura di una lente (e diaframma per coprirne una parte) e tempo di esposizione.
- Immagine dal punto di vista matematico: mappa punto->punto. Foto sfocate (punto->'cerchio di confusione') e foto mosse (punto->segmento/spezzata).
- Verificare qualitatitivamente,
con semplici considerazioni geometriche che
la 'tolleranza di focalizzazione' (più tecnicamente
'profondità di campo') dipende dalla distanza focale
(peggiora al suo aumento) e dall'apertura (peggiora
anche all'aumento di questa).
- A proposito: perché quando c'è molta luce ci si vede 'meglio'? (Nel senso che aumentano le capacità di messa a fuoco.)
- Lenti convergenti e occhiali da presbite.
- Ancora inferenza su p della binomiale:
- funzione speciale Beta (vedi quesiti della lezione scorsa) e distribuzione di probabilità Beta;
- (parentesi su funzioni speciali: Beta -> Gamma -> fattoriale;)
- inferenza su p espressa dalla distribuzione Beta: f(p|Beta(ns+1,ni+1));
- provare a risolvere
i problemi inferenziali della scorsa lezione (vedi script R)
usando direttamente dbeta() di R, in particolare:
- P(p<=0.5 | ns=10,ni=0);
- mediana di f(p | ns=10,ni=0);
- mediana di f(p | ns=3,ni=7);
- date 100 interviste telefoniche, in 23 delle quali viene risposto positivamente ad una certa domanda, trovare l'intervallo centrale che contiene al 95% di probabilità la frazione di popolazione che la pensa in quel modo;
- idem nei casi di 1000 interviste con 230 sì e 10000 interviste con 2300 sì;
- Risposta gaussiana, con σx nota esattamente,
di uno strumento di misura
(vedi quesiti della lezione scorsa):
- Prior uniforme: convenenza, significato e limiti; prior (approssimativamente) uniforme modellizzata da gaussiana con opportuni valori di μ e σ.
- (x1|μ) vista come funzione matematica di μ per x1 fissato: -> verosimiglianza (att: NON è ancora una probabilità di μ! manca la prior!);
- prodotto di verosimiglianza `stretta' per prior `larga';
- f(μ|x1,σx): gaussiana centrata in x1 (valore atteso di μ) e 'larghezza' (incertezza standard) σx;
- caso di campione di osservazioni (condizionatamente) indipendenti
(dato μ! - si ricorda che se μ è incerto le
xi non sono fra di loro indipendenti!):
- caso di σx nota: valore atteso di μ uguale a media aritmetica; incertezza standard uguale a σx/sqrt(n).
- Nota generale (dal confronto con il caso binomiale): le incertezze vanno come 1/sqrt(n).
- caso di σx ignota:
- metodo approssimativo con σx stimato dalla dispersione delle ossservazioni intorno al loro valore medio;
- metodo 'esatto' (dal punto di vista del procedimento, non delle conclusioni su μ, il cui valore rimarrà necessariamante incerto!): inferenza bivariata f(μ,σ|x1,x2,...,xn) con successiva marginalizzazione.
- Per dettagli, vedi 4 parte delle dispense dispense Probabilità e incertezze di misura, (vedi qui), par. 11.1-11.3 (fino a 12.3.1).
- Tornando alle osservazioni
11.5, 12.7, 10.9, 14.1, 14.2, 15.0, 13.0, 12.2, 17.6, 13.2
della volta scorsa (assunte provenire da risposta gaussiana
del rivelatore):
- ricavarsi la pdf di μ,
assumendo σ=2, quindi
- dire quanto valgono valore atteso e incertezza standard di μ;
- calcolare P(μ >= 10), P(11 <= μ <= 14), P(μ >= 16);
- calcolare il valore μl tale che P(mu <= μl) = 20%.
- Ricavarsi σx dal campione dei dati sperimentali e ripetere i calcoli precedenti, assumendo che σx sia una buona stima della σ che modellizza la risposta del rivelatore (in realtà non è perfettamente vero e l'incertezza su σ si riflette inevitabilmente sull'incetezza su μ).
- ricavarsi la pdf di μ,
assumendo σ=2, quindi
- Si usi la funzione rnorm() di R per generare campioni di osservazioni simulate, si stimino μ e σ e si confrontino i valori con quelli usati nella simulazione.
- Analisi dati della misura del foglio A4 (`righello Commerzbank'):
valutare- media e deviazione standard relativi alle misure dei due lati del foglio;
- lunghezze (con incertezze standard) dei due lati;
- intervalli che contengono le lunghezze dei lati al 90%, al 95% e al 99% di probabilità.
- Ancora giochi d'acqua
- Il bicchierino cinese con l'immagine 'offuscata':
- sistema lente convergente e divergente;
- analogia con la correzione della vista di un miope.
- Esperimento (concettuale e pratico) del dito immerso
in acqua di un recipiente posto su una bilancia:
- spinta di Archimede e azione-reazione;
- misura del volume (della parte immersa)
del dito mediante la bilancia (!):
- confronto con la misura ottenuta dall'innalzamento;
- quale dei due metodi è più sensibile (variazione di valore osservato direttamente in funzione della variazione di volume immerso) ipotizzando recipiente cilindrico di diametro 10 cm (e lettura dell'altezza con apprezzamento dei decimi di mm) e bilancia di risoluzione 0.1 g?
- Variazione sul tema: piombo in bicchiere di plastica galleggiante Vs piombo sul fondo e bicchiere galleggiante.
- Esperimento del cucchiaio sotto il getto d'acqua: comportamento controintuitivo e spiegazione qualitativa (->viscosità) del fenomeno.
- Il bicchierino cinese con l'immagine 'offuscata':
- Ancora ottica geometrica (e introduzione alle tecniche fotografiche):
- problema della focalizzazione e dipendenza da distanza focale e da apertura della lente (diaframma);
- coppie di valori tempi-diaframma in situazioni fotografiche tipiche;
- proprietà di adattamento dell'occhio alle variazioni di luce (e cenno a quelle dell'orecchio alle variazioni di pressioni sonore);
- specchi sferici concavi e convessi: esperimenti con cucchiai e mestoli: spiegarsi il motivo della diversità dell'immagine riflesse nella parte concava e convessa.
- Inferenza parametrica su μ e σ dato un campione:
- script che fa il lavoro 'pulito' (senza approssimazioni, a parte
l'uso di tecniche numeriche rudimentali per fare l'integrale):
inf_gauss.R:
- studiare attentamente bene cosa fa, apportare opportune modifiche; confrontare risultati 'esatti' ottenuti dalle pdf con quelli approssimati;
- usare lo script per analizzare i dati della misura del foglio A4 (in questo caso, può essere importante mettere una prior su sigma tale che non possa essere inferiore a c.a 1/2 decimo di mm).
- script che fa il lavoro 'pulito' (senza approssimazioni, a parte
l'uso di tecniche numeriche rudimentali per fare l'integrale):
inf_gauss.R:
- Propagazione di incertezze: problema generale e caso
speciale di combinazione lineare.
- Teoremi generali su valore atteso e varianza di combinazioni lineari di variabili casuali.
- Caso speciale di distribuzioni uniformi discrete (due dadi) e continue (due nr pseudocasuali di prob costante fra 0 e 1).
- Teorema centrale del limite (più noto come
teorema del limite centrale): formulazione e applicazioni.
- Dimostrazione 'a fumetti' del teorema: vedi
questo script della
pagina dedicata a R;
[a proposito:- le possibilità dei lanci di due dadi (o dell'estrazione di due nr pseudocasuali uniformi fra 0 e 1) sono in un quadrato;
- quelle di tre dadi (o tre nr causali uniformi) sono su un cubo;
- quelle di quattro dadi (o quattro nr casuali uniformi) sono su un ipercubo su 4-D;
- etc. etc.
- a qualcuno ricorderà qualcosa ...]
- Generatore di numeri pseudocasuali gaussiano a partire da 'runif()'.
- Distribuzione della media aritmetica
(con osservazione sull'inferenza su μ ottenuta dalla conoscenza della sola media). - Distribuzione degli errori di misura.
- Dimostrazione 'a fumetti' del teorema: vedi
questo script della
pagina dedicata a R;
- Applicazione all'esperienza della misura del foglio A4:
- dai valori di base e altezza (b e h) inferiti dai dati, ricavarsi valore atteso e incertezza standard di p=h+b (semiperimetro), d=h-b (differenza) e y=2*h-5*b+1 (puro esercizio accademico).
- La prossima lezione saranno confrontati i risultati ottenuti da ciascuno.
- Infine, una nota tecnica su R:
- per obbligare R a fare una pausa di una durata prefissata:
- Sys.sleep(3) # 'dorme' 3 secondi
- per obbligare R a fare una pausa di una durata prefissata:
- Terminologia su errori ed incertezze di misura:
- precisione e accuratezza (con analogia del tiro a freccette);
- misure dirette e indirette;
- errori casuali e sistematici;
- coefficiente di variazione (σ[X]/|E[X]) e incertezza relativa.
- Confronto dei risultati su foglio A4:
- nota sul diverso significato e diverso uso di 'σ' e 'σ/sqrt(n)';
- cifre sigificative sull'incertezza e sul valore atteso ('migliore stima') di una grandezza fisica;
- propagazione delle incertezze nel caso di combinazioni lineari.
- Errori sistematici tipici:
- errore di zero (es. termometro con bulbo deformato, provetta con fondo incerto, bilancia con tara non nulla, orologio rimesso male, etc.):
- errore di scala (es. calibro allungato/accorciato per dilatazione
termica, orologio che va avanti o indietro, etc):
- caso del 'righello Commerzbank' (con escursus su deformazioni ottiche, es. macchine fotografiche o fotocopiatrici, vedi ad es. qui);
- non linearità;
- casi più complicati (inclusi mix dei precedenti).
- Importanza delle misure per differenza e per rapporto (si semplificano, rispettivamente, gli errori sistematici di zero e di scala).
- Importanza delle calibrazioni e intercalibrazioni per ridurre le incertezza dovute ad errori sistematici.
- Propagazioni di incertezze in caso di relazioni non lineari
fra grandezze di input e grandezza di output:
- linearizzazione (sviluppo al primo ordine intorno
ai valori attesi delle grandezze di input):
- condizioni di validità del metodo (linearizzazione accettabile dove si concentrano le probabilità delle grandezze di input);
- formule approssimative per valori attesi e incertezze;
- ancora sul metodo generale nel caso discreto;
- propagazione mediante metodi di Montecarlo (simulazioni):
- script con i comandi usati a lezione: propagazioni.R.
- linearizzazione (sviluppo al primo ordine intorno
ai valori attesi delle grandezze di input):
- Teorema di Bernoulli su ““limite della frequenza relativa
alla probabilità”” (quattro virgolette sono il minimo...).
- Semplice dimostrazione a partire dalla variabile casuale X
'numero di successi' (binomiale) alla variabile casuale
frequenza relativa di successi (fn=X/n):
- E[fn]=p; σ[fn]=sqrt(p(1-p))/sqrt(n), con f(fn) gaussiana per grandi n (quando ci interessa);
- -> per n grande è molto improbabile osservare valori di frequenza relativa che si scostano 'apprezzabilmente' da p.
- Il teorema più frainteso del calcolo delle probabilità!
(soprattutto quando viene volgarizzato sotto il nome di legge):
- alla base degli argomenti demenziali sui numeri ritardatari (che “devono rispettare la legge dei grandi numeri”...);
- in particolare, non può essere utilizzato per definire la probabilità (discendedno il teorema dalla peoria della probabilità...).
- Uso nelle simulazioni di Montecarlo (ad es. nelle propagazioni),
ragionando sulle variabili discretizzate in cellette ('bin' di un istogramma):
- per ciascuna Xi, in ciascun bin (indicizzato con j):
pj(i) -> fj(i) (Teorema di Bernoulli); - in genere ci saranno tanti bin delle variabili di input Xi che danno
luogo ad un bin k della variabile di output Y:
la frequenza in un bin di Y è alla somma delle frequenza delle n-tuple di Xi che producono un valore di Y; - per ciascuna frequenza relativa dei bin di Y:
fk(Y) -> pk(Y) (teorema di Bayes - vedi inferenza su p della binomiale dal nr di successi e insuccessi).
- per ciascuna Xi, in ciascun bin (indicizzato con j):
- Semplice dimostrazione a partire dalla variabile casuale X
'numero di successi' (binomiale) alla variabile casuale
frequenza relativa di successi (fn=X/n):
- Esercizi:
- provare a giocherellare con simulazioni propagazioni di pdf mediante Montecarlo (anche con variabili di input non gaussiane);
- continuazione analisi foglio A4: valutare
valore atteso e incertezza standard di:
- A = b h (area foglio);
- R = h/b (rapporto dei lati);
- g = sqrt(b^2 + h^2) (diagonale);
- s = b/sqrt(b^2 + h^2) (seno dell'angolo compreso fra lato lungo e diagonale);
- theta = arcsin(s) (angolo compreso fra lato lungo e diagonale);
- Referenze:
- scaricarsi e cominciare a 'sfogliare'
la dispensa ”Errori e incertezze di misura - Rassegna critica e proposte per l'insegnamento“,
vedi qui;
(nel seguito saranno date informazioni più dettagliate); - idem per quanto riguarda ”Le basi del metodo sperimentale“, parti 1 e 3 (non la 2), vedi qui;
- scaricarsi e cominciare a 'sfogliare'
la dispensa ”Errori e incertezze di misura - Rassegna critica e proposte per l'insegnamento“,
vedi qui;
- Forme monomie e propagazioni delle incertezze relative
(o percentuali):
- dimostrazione e utilit` (soprattutto nella progettazione delle esperienze);
- Esercizi basati sulle misure del foglio
A4: valutare incertezze relative di h e b,
quindi
- le incertezze relative su: A = b h, R = h/b, Y1=10*h, Y2=h^2 e Y3=sqrt(h) (in particolare si confrontino i risultati ottenuti per Y1, Y2 e Y3); dalle incertezze relative (e dai valori attesi) ricavarsi le invertezza assolute.
- Introduzione a covarianza e coefficiente
di correlazione (da rivedere sui vostri testi preferiti!)
e loro importanza nel riportare i risultati sperimentali, in particolare:
- incertezze su valori di diverse grandezze, misurate con stesso strumento
affetto da errore sistematico sono necessariamente correlate, ad esempio
- se un termomentro ha un errore di zero, compio errore nello stesso verso (a parte gli errori casuali) se effettuo due misure di temperatura;
- nelle misure con i righelli Commerzbank, a chi veniva una base maggiore della media degli altri studenti, veniva anche un'altezza proporzionatamente maggiore.
- se si effettuano fit parametrici (es. fit lineari), i risultati
sui parametri del fit sono in genere correlati:
- esempio del caso di fit lineare con grandezze positive (nel 1.mo quadrante): la pendenza (m) può crescere a spese dell'intercetta (c), a viceversa;
- in genere, non siamo interessati soltanto alle pdf f(m) e f(c),
- incertezze su valori di diverse grandezze, misurate con stesso strumento
affetto da errore sistematico sono necessariamente correlate, ad esempio
- Ancora su Bernoulli, binomiale, marcia a caso, etc:
- Binomiale -> gaussiana:
- binomiale vista come somma di distribuzioni di Bernoulli;
- teorema del limite centrale (con chiarimenti sul suo significato: da intendersi riferito alla cumulativa).
- Dalla binomiale con p=1/2
alla marcia a caso (random walk): successo/insuccesso -> passo avanti/indietro:
- E[S] = 0, σ[S]=Δs × sqrt(n)
- random walk in diversi `spazi':
- giochi d'azzardo e problema della rovina del giocatore:
- sulla proprietà di 'non memoria' e sulle interpretazioni fuorvianti delle 'leggi statistiche'.
- Quinconce di Galton (`pallinometro') e suoi problemi logici e costruttivi (a proposito, la struttura a quinconce è quella tipo 'cinque di denari').
- Moto browniano: sqrt(n) -> sqrt(t); processo di diffusione.
- Errori di misura.
- Distribuzione delle velocità delle molecole:
- gaussiana nelle componenti;
- maxweliana nei moduli.
- giochi d'azzardo e problema della rovina del giocatore:
- Binomiale -> gaussiana:
- Esperienza della molla:
- nota sul significato di F = -k x rispetto al pun to di equilibrio;
- misure (non effettuate -> vedi dispense) di allungamento e periodo in funzione della massa applicata;
- come misurare g e k dai due andamenti (-> grafici -> 'fit');
- en passent, tornando al pozzo per il centro della Terra: cosa succede se il pozzo invece di essere lungo un diametro è lungo una qualsiasi corda?
- Termologia e non solo:
- generalit` sui termometri;
- misura della potenza (effettiva) di un forno a micro onde:
- ΔT -> Q -> ΔE -> P
(servono anche informazioni su massa, calore specifico e tempo di
irradiazione);
(A proposito: probabilmente alla temperatura finale misurata bisogna giiungere più di quanto è stato suggerito a lezione: si potrebbe stimare da una valutazione - benché approssimativa del tempo impiegato dal termometro per arrivare a regime e dalla costante di tempo di termalizzazione, determinabile dalle misure successive.)
- ΔT -> Q -> ΔE -> P
(servono anche informazioni su massa, calore specifico e tempo di
irradiazione);
- Misura del calore specifico.
- Meglio corpo caldo in acqua fredda o viceversa?
- Importanza della (grande) differenza di temperatura.
- Esiste un optimum fra massa del corpo e massa dell'acqua? (Provare a capire cosa succede nelle situazioni limite con rapporto fra le masse che tende a zero o infinito.
- Cosa sarebbe successo se la massa del recipiente non fosse stata trascurabile? Come tenerne conto?
- Processo di termalizzazione (fatto in fretta, esperimento
con parametri non ottimizzati):
- verificare (esercizio di termologia) che la variazione di temperatuta T-TA decresce esponenzialmente;
- dati su 'carta' (si può anche fare con R) lineare e semilog;
- stima della costante di tempo τ.
- Fisica ... in cucina:
- ruolo dell'acqua per il controllo della temperatura
(cosa cambia se al posto dell'acqua si usa l'olio?):
- cottura a bagnomaria e a microonde;
- esperimento (suggerito) di bicchiere di plastica pieno d'acqua posto su fiamma di una candela.
- ruolo dell'acqua per il controllo della temperatura
(cosa cambia se al posto dell'acqua si usa l'olio?):
- Referenze:
- per le questioni probabilistiche si veda la serie di dispense Probabilità e incertezze di misura;
- per l'esperimento della molla, si veda la prima parte de La base del metodo sperimentale;
- sulla forze globale sull'oggetto sospeso sulla molla, in funzione della distanza dal punto di equilibrio, si vedano appunti di Fisica per informatici, pag. 23.
- A proposito di caratteri accentati in R (e per
stampare altri caratteri a piacere, mediante
unicode):
- prove_unicode.R;
- comando Unix/Linux per trasformare file: acc2unicode.sh.
- Per prendere confidenza con covarianza e coefficiente di correlazione: prove_correlazioni.R
- Misura potenza effettiva forno a microonde.
- Perché decisamente inferiore a quella nominale di 1000W?
- Alcune considerazioni sul funzionamento e su quello che può succedere alle onde elettromagnetiche che 'rimbalzano' diverse volte.
- Anni fa facemmo delle prove e constatammo che il rapporto fra potenza misurata e potenza nominale aumentava decisamente all'aumentare della massa di acqua.
- Processo di termalizzazione:
- misura di τ da velocità di termalizzazione (servono anche Temperatura istantanea e temperatura finale);
- commenti sull'esperienza della lezione scorsa, trucchi per farla meglio (progettando un sistema con costante di tempo 'decente') e cenno a misura di τ pur senza osservare l'andamendo esponenziale;
- dati simulati (per non ripetere
l'esperienza della volta scorsa: inutile far perdere
tempo in laboratorio se non si impara veramente
qualcosa in termini di fenomenologia, strumentazione
e manualità): genera_dati_term.R;
- Interessante fare i grafici linearizzati ('semilog'): inizialmente può risultare non banale: provare.
- Spunti di analisi:
- Grafici e linearizzazioni (con R; eventualmente provare su carta semilog per verificare che non è stata dimenticata...);
- Come inserire 'errori' di misura?
- Come tener conto del fatto che il liquido a temperatura elevata si raffredda mentre il termometro sta tendendo alla sua temperatura?
- Un processo simile: carica/scarica del condensatore:
- Ripassarsi ABC dei circuiti in corrente continua e carica/scarica del condensatore.
- Come riferimento sulle formule, vedere dispense di Fisica 1 per Informatici citate precedentente (o il testo favorito di fisica generale).
- Un po' di Fisica in cucina.
- Candela che non brucia bicchieri di carta/plastica:
- ruolo di capacià termica e coonduzione (oltre che temperatura);
- esempio analogo: perché il ciocchetto non brucia e il filamento di corteccia sì (o elenco telefonico rispetto a pagina singola).
- Importanza dei fondi spessi di padelle/tegami (erchè meno importante per pentole?).
- Considerazioni di efficienza energetica: portare
a ebollizione alla massima potenza (fino all'immersione
di pasta o altro), quindi tenere al minimo.
A proposito:- quando si possono mettere i cibi già in acqua fredda?
- L'eterna querelle “sale prima o sale dopo?”
A proposito:- quando salare una bistecca?
- Da investigare: Nella pasta: sale grosso o sale fino? Perché?
- Cottura esterno->interno Vs cottura interna omogenea
(forno a microonde)
- Trucchi per verificare il punto di cottura nei casi 'esterno->interno': `anima' dello spaghetto e termometro per arrosti (a proposito: perché non si deve tagliare l'arrosto per verificarne la cottura!).
- Cottura in acqua bollente Vs cottura al forno;
cuocere in acqua Vs cuocere in olio
(frittura). Tempi di cottura etc.
A proposito:- doppia cottura delle patatine fritte, tradizionalmente due volte in olio, la prima volta a temperatura più bassa e un po' più a lunga;
- ma la prima cottura può essere fatta al microonde (che sembra faccia anche bene alla salute, alla faccia per paranoici del microonde).
- Cottura al forno e ... sauna (perché si riesce a stare oltre 10 min in aria a 100 gradi?); forno ventilato e sauna 'ventilata'.
- Bollitura, cottura al vapore e cottura al microonde (di verdure, o alimenti `umidi').
- Combinazione (cottura in successione) micro onde e forno (esempio delle patate).
- Bollire oltre i 100 gradi: pentola a pressione.
- Candela che non brucia bicchieri di carta/plastica:
- Urti
- Schematizzazioni generali: perfettamente elastico; perfettamente anelastico; anelastico (tutti i casi realistici sono per definizione non ideali).
- Urto perfettamente anelestatico: si annulla l'energia meccanica nel centro di massa, il quale prosegue a velocità costante.
- Urti elastici:
- modello meccanico (interazioni istantanee: costante k -> ∞);
- excursus su `lavoro' (nome di quel famoso integrale), variazione di 1/2 m v2, 'invenzione' dei nomi energia cinetica e potenziale, relazione con energia termica, etc.
- leggi di conservazioni nell'urto perfettamente elastico;
- caso unidimensionale (con sottocasi di particolare interesse):
- legge dell'inversione della velocità relativa (o dell'uguaglianza delle somme delle velocità);
- casi notevoli quando uno dei corpi ha massa 'infinita'
(ovvero inerzia infinita e quindi non può cambiare velocità):
- urto su pavimento o su parete;
- urto di pallina da golf in movimento contro pallina da ping-pong ferma (e stima dei rapporti di velocità dalla distanza di caduta);
- collisione frontale fra pallina da golf e pallina da ping-pong (e nuova stima...);
- rimbalzo di pallina da golf con 'a cavallo' pallina da ping pong;
- applicazioni calcistiche: colpo su palla ferma; colpo a seguire; contraccolpo; colpo 'accompagnato' (v pallone uguale a v piede);
- analogia fra colpo accompagnato e uovo messo in rotazione
(in entrambi i casi si fissa la velocità):
- velocità iniziale di rootazione di uovo sodo e uovo fresco sono uguali (pari a quella delle dita);
- l'uovo fresco acquista momento quantità di moto ed energia cinetica infieriore a quelle dell'uovo sodo; poi segue trasferimento a strati interni.
- Altro caso notevole: masse uguali, urto frontale o di uno in moto contro uno fermo.
- Esercizio interessante
(per chi non l'avesse fatto nel corso di Fisica Generale):
- trattare l'urto colineare di due oggetti di massa uguale, come urto frontale nel centro di massa, seguito da trasformazione di coordinate dal centro di massa al laboratorio.
- Alcuni gadget:
- urti consecutivi di palline sospese (`pendoli di Newton');
- versione 'sicura' delle `clic clac' (palline che schioccano, tipo queste, ma con bastoncini di plastica, invece degli spaghi, ruotanti intorno ad un asse): spiegazioni delle due 'soluzioni' (a parte quella banale di inseguimento).
- Per riferimenti, vedi solite dispense per informatici, o manuale preferito.
- Matrici di covarianza e loro trasformazione:
- valore atteso e covarianza di combinazioni lineari di variabili di input (Xi) indipendenti (richiamo);
- caso generale con Cov(Xi, Xj) ≠ 0:
- covarianza Cov(Yl, Ym)
delle variabili di output
- -> le variabili derivate sono in genere correlate!
- Notazione matriciale di varianze/covarianze: matrice di covarianza.
- Notazione matriciale delle combinazioni lineari:
- Y = C X, ove X è il 'vettore' delle grandezze di input, Y è il 'vettore' delle grandezze di output e C è la matrice dei coefficienti.
- Notazione matriciale di varianze/covarianze delle grandezze di output:
- VY = C VX CT, ove le V sono le matrici di covarianza.
- Linearizzazione dei casi non lineari: C diventa la matrice delle derivate.
- Esempio: perimetro e area di foglio A4, assumendo indipendenti le informazioni sui lati.
- Esercizi:
- con riferimento allo script prove_correlazioni.R
della scorsa lezione
- a partire X = {x1, x1} definita nello script, calcolare la matrice di covarianza di Y = {y1, y2, A, p, r}, sempre definite nello script;
- a partire Y, calcolare la matrice di covarianza di Z, vettore costituito da z1 = - y1 + 2* y2 e z2 = y12/y2;
- dalle matrici di covarianza calcolare le matrici di correlazione (coefficienti di correlazione nei termini off-diagonal e 1 lungo la diagonale);
- con riferimento allo script prove_correlazioni.R
della scorsa lezione
- Distribuzioni normali multivariate: cenni (essenzialmente le
Y e Z del punto precedente fanno parte di questa
categoria): ogni marginale è gaussiana;
- caso bivariato [quello che si visualizza, ad es., con plot(y1,y2)]
e distribuzione di una delle due variabili condizionata da un valore
dell'altra:
- shift del valore atteso: E[Y2|y1] = E[Y2] + ρ (y1 - E[Y1]) σ(Y2)/σ(Y1);
- contrazione della deviazione standard: &sigma[Y2|y1] = σ(Y2) * sqrt(1-ρ2);
- fare delle prove con i dati simulati, selezionando il valore di una delle variabili intorno ad un certo valore (intervallo non troppo stretto, altrimenti non ci saranno punti sufficienti);
- caso bivariato [quello che si visualizza, ad es., con plot(y1,y2)]
e distribuzione di una delle due variabili condizionata da un valore
dell'altra:
- Raccomandazioni BIPM/ISO
sulle incertezze di misura:
- Sorgenti delle incertezze di misura e `decalogo' ISO;;
- incertezze di tipo A e di tipo B;
- sulla valutazione delle incertezze di tipo B;
- alcuni esempi, in particolare, incerteze su strumenti digitali.
- Esempio del contachilometri: date le due letture 57256km e 57258km, valutare:
- valore atteso dello spazio percorso, con incertezza standard;
- probabilità cha la macchina abbia percorso una distanza maggiore o uguale di 1.5 km.
- Esempio del contachilometri: date le due letture 57256km e 57258km, valutare:
- Referenze sulla parte probabilistica: solite dispense di Probabilità e Incertezze di Misura, o altro testo a piacere (controllando con gli appunti per non divergere!).
- Incertezze dovute a errori sistematici:
- modello probabilistico sottostante;
- inferenza di valori veri tralasciando effetti sistematici;
- correzione (con termine correttivo incerto): μ = μS + csys;
- casi specifici di errore di zero ed errore di scala:
- combinazione in quadratura delle incertezze;
- correlazione dei risultati ottenuti con lo stesso strumento affetto da errore sistematico.
- Fit:
- generalità;
- inferenza parametrica: f(θ|dati) \propto f(dati|θ) × f0(θ);
- assunzioni sotto il modello di base dei fit:
- relazione deterministica fra i valori veri di x e di y;
- errori gaussiani indipendenti solo sulle y;
- σy (semplicemente σ nel seguito) non dipende da y.
- Soluzione esatta di fit lineare (con queste assunzioni):
f(m,c,σ|{x,y}) \propto σ-n exp [ -Σi (yi - m xi - c)2 / (2 σ2 ) ]
→ si tratta `soltanto' di normalizzare, marginalizzare e il gioco è fatto; - analogia con inferenza di μ e σ da un campione
di dati sperimentali:
f(μ,σ|x) \propto σ-n exp [ -Σi (xi - μ)2 / (2 σ2 ) ]
- Circuiti:
- forze gravitazionali e forze elettriche: analogie e diversità
- peculiarità del caso elettrico:
- esistenza di generatori di tensione (non ci interessa come funzionano);
- possibilit` di trasportare differenze di potenziale mediante conduttori.
- richiami su differenza di potenziale e corrente elettrica (legge di Ohm);
- semplici misure eletriche: tensione; resistenza, intensità di corrente;
- uso della tavoletta `millefori';
- generatori e resistori in serie;
- carica/scarica del condensatore: richiamo della teoria e analogia con i processi termalizzazione.
- Per referenze, etc, vedi dispense online e indicazioni nelle lezioni successive.
- BUON ANNO e occhio al cielo nel mese di gennaio (vedi anche qui): i nottambuli hanno già avvistato Marte?
- Formule approssimate per fit lineari.
- Ripartiamo dall'espressione di f(m,c,σ|{x,y}) vista la lezione scorsa (con la speranza che qualcuno l'abbia usata...).
- Assumiamo che:
- la σ sia nota (o `ricavabile in qualche altro modo');
- le prior siano `piatte' ('flat').
- Dall'espressione di f(m,c,σ|{x,y}) di cui sopra,
otteniamo, con queste approssimazioni:
f(m,c|{x,y}) \propto exp [ -Σi (yi - m xi - c)2 / (2 σ2 ) ] - Da questa espressione è facile ricavarsi i valori modali di
m e c: → max f(m,c|{x,y}) → derivate, etc.:
- →metodo dei minimi quadrati
- In particolare è interessante riscrivere la formula svolgendo il
quadrato, mettere in evidenza al numeratore n
e riscrivendo le sommatorie come opportune media, ad es
Σi xi = n xm , etc.
- Conti lasciati per casa
- Come dati comuni, usare quelli dell'esperimento della molla riportati sulle dispense `le basi del metodo sperimentale'.
- Residui del fit e stima della σ come loro valore quadratico medio.
- Funzione di probabilità congiunta f(m,c|{x,y}):
- dimostrare che, se la media delle x
è nulla, f(m,c|{x,y}) si riduce al prodotto
di due gaussiane, ovvero
f(m,c|{x,y})=f(m|{x,y})×f(c|{x,y})
→ coefficiente di correlazione fra m e c si annulla; - fit nel sistema traslato x'=x-xm: f(m',c'|{x',y});
- in particolare, valutare E[m'], Var[m'], E[c'], Var[c']
- traslazione nel sistema originario, tenendo conto che combinazioni
lineari gaussiane hanno distribuzione di prob. gaussiana multivariata:
→ valutare, finalmente, E[m], Var[m], E[c], Var[c].
- dimostrare che, se la media delle x
è nulla, f(m,c|{x,y}) si riduce al prodotto
di due gaussiane, ovvero
- Come tener conto degli errori sulle x: si sommano in quadratura
a quelli sulle y, previo riscalarli moltiplicandoli per m.
Per ulteriori dettagli (ma senza perdersi) vedi qui.
- Semplici misure elettriche:
- resistenza di collanina di resistori cortocircuitati agli estremi;
- partitore di tensione (concetto importantissimo!);
- partitore di corrente e applicazioni (shunt');
- note sul concetto fisico di resistenze in serie e in parallelo (rispettivamente stessa corrente o stessa tensione).
- Carica e scarica del condensatore:
- misure (a lezione solo carica, con effetto sorpresa e nota sulla validità didattica di tali effetti);
- linearizzazione per mostrare andamento esponenziale;
- valutazione di costante di tempo τ;
- confronto con valori teorici (tensione di carica e τ):
- perturbazione dello strumento di misura;
- voltmetro ideale e voltmetro reale: → RV;
- valutazione della perturbazione ed eventuale correzione dei valori misurati;
- valutazione di RV dal confronto fra dati
sperimentali e previsioni teoriche (assumendo corretto il
modello di perturbazione dello strumento):
→ quando il condensatore è carico, R e RV sono in serie: partitore di tensione.
- Scarica cortocircuitando l'ingresso del circuito (mediante
switch, ovvero ponendo 'f=0')
o sconnettendolo: diverse costanti di tempo:
- cortocircuitando l'ingresso il condensatore si scarica sul parallelo di R e RV;
- quando invece l'indresso viene semplicemente disconnesso il condensatore si scarica soltanto su RV.
- Carica e scarica cortocircuitando sono caratterizzate da stessa costante di tempo; la scarica soltanto su RV ha invece una costante di tempo maggiore.
- Come valutare sperimentalmente sia C che RV.
- Ancora su circuiti.
- Multimetro analogico ICE ("supertester 680R", vedi ad es.
qui
(a cura del Prof. Di Domenico)
o nelle
slides
dei Proff. De Bernardis e Masi.
Note sulla valenza didattica di tale strumento, per altri versi obsoleto. - Esperienza del partitore eseguita con un voltmetro di resistenza interna a quella `tipica' delle resistenze della `collanina'.
- Parentesi sulla documentazione del lavoro di laboratorio
e, in generale, sul laboratorio (cosa fare, cosa non fare, etc.)
- Si veda dispensa Basi Metodo Sperimentale e conclusioni della nota "Prob. e incertezze... proposte per l'insegnamento"
- Teorema di Thevenin e sue applicazioni, in particolare:
- analisi teorica dell'influenza del voltmetro
nell'esperienza di cui sopra; in particolare,
- perturbazione introdotta da un voltmetro; `voltmetro ideale'.
- analisi teorica di carica/scarica del condensatore eseguita la volta scorsa.
- analisi teorica dell'influenza del voltmetro
nell'esperienza di cui sopra; in particolare,
- Per casa: simulare l'esperienza del partitore di tensione con collanina di 10 resistori da 100kΩ, con tensione di alimentazione 10V e ipotizzando diversi valori di resistenza interna (40kΩ, 200kΩ, 2MΩ e 10 2MΩ)
- Multimetro analogico ICE ("supertester 680R", vedi ad es.
qui
(a cura del Prof. Di Domenico)
o nelle
slides
dei Proff. De Bernardis e Masi.
- fit lineari:
- Essenzialmente, soluzione delle dimostrazioni proposte la lezione precedente su f(m,c|{x,y});
- Per dettagli, vedi Basi del Metodo Sperimentale, parte 4: Cap. 12 (molte cose sono state già fatte), in versione html qui.
- Ancora circuiti
- Uso del Teorema di Thevenin:
- analisi di una `scatola nera';
- esercizio con circuito composto da più scatole nere connesse fra di loro.
- Perturbazione introdotta da un amperometro.
- Uso del Teorema di Thevenin:
- Ancora sui `fit':
- Modelli lineari (lm()
di R) trattati con formalismo matriciale.
- Rivedersi lo script per l'analisi della densità delle `palline' alla luce di queste ultime lezioni (finalmente dovrebbe essere anche chiaro il punto 5).
- Modelli lineari (lm()
di R) trattati con formalismo matriciale.
- Alcune note sull'insegnamento e sulla divulgazione scientifica (vedi qui per la `collezione di perle' e la `replica').